( ) Se sumn=1^+infty an e sumn=1^+infty bn são divergentes, então sumn=1^+infty(an bn) é divergente.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está dizendo. Temos duas séries infinitas, sumn=1^+infty an e sumn=1^+infty bn, que são divergentes, ou seja, elas não somam para um número finito. A questão pergunta se, multiplicando termo a termo essas duas séries, a nova série sumn=1^+infty(an bn) também será divergente. Para resolver, vamos precisar entender o que significa uma série ser divergente ou convergente e como a multiplicação de termos afeta isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma série convergente e divergente. Uma série sumn=1^+infty cn converge se a soma dos seus termos tende a um número finito quando somamos infinitos termos. Se não, dizemos que a série diverge.

Passo 3

Agora, vamos analisar se o fato de duas séries serem divergentes implica que a série formada pelos produtos de seus termos também seja divergente. Para isso, vamos tentar encontrar um exemplo onde duas séries divergentes formam uma série de produtos convergente.

Passo 4

Considere as séries sumn=1^+infty 1n e sumn=1^+infty 1n. Cada uma delas é a famosa série harmônica, que sabemos que é divergente. Agora, multiplicando termo a termo, temos:
an bn = 1n times 1n = 1n^2
Então, a nova série é sumn=1^+infty 1n^2.

Passo 5

Vamos verificar se a série sumn=1^+infty 1n^2 converge ou diverge. Sabemos que esta é uma série p, onde p = 2. Para séries p, se p > 1, a série converge. Portanto, sumn=1^+infty 1n^2 converge.

Resposta

FALSO. Mesmo que sum an e sum bn sejam divergentes, sum (an bn) pode ser convergente.

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