Em cada uma das seguintes equações diferenciais não-homogêneas de segunda ordem, encontre a solução geral.
a.
,
a.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem não-homogênea:
Aqui, estamos trabalhando com equações lineares de segunda ordem. Para resolver isso, precisamos encontrar a solução geral, que é a soma da solução da equação homogênea associada e de uma solução particular da equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Essa é a parte “homogênea” da nossa equação.
Passo 3
Para resolver a equação homogênea, encontramos as raízes da equação característica. A equação característica é:
Resolvendo essa equação quadrática, encontramos as raízes.
Passo 4
Resolvendo a equação característica:
Então, as raízes são:
Com essas raízes, a solução geral da equação homogênea é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 5
Agora, vamos encontrar uma solução particular
para a equação completa:
Como o lado direito é um polinômio de grau 2, vamos supor uma solução particular na forma:
Onde
,
e
são coeficientes que vamos determinar.
Passo 6
Calculamos as derivadas de
:
Substituímos
,
e
na equação original:
Simplificando:
Agrupando os termos:
Agora igualamos os coeficientes de termos semelhantes:
Para
:
Para
:
Para o termo constante:
Substituindo
e
:
Então, a solução particular é:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.
Exercícios relacionados
Ache a série de Taylor de:
em torno de
e encontre o intervalo de convergência e raio de convergência da série de potências encontrada.
Calcule as seguintes derivadas
Em cada uma das seguintes equações diferenciais não-homogêneas de segunda ordem, encontre a solução geral.
d.
d.
Em cada uma das seguintes equações diferenciais não-homogêneas de segunda ordem, encontre a solução geral.
f.
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