Calcule os seguintes determinantes:
© |lll3 & 1 & 2 2 & 4 & 5 2 & 4 & 5|

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o determinante da seguinte matriz:
3 & 1 & 2 2 & 4 & 5 2 & 4 & 5
Esse problema está dentro do conteúdo de Álgebra Linear, especificamente trabalhando com determinantes de matrizes. Para resolver, vamos precisar entender como calcular determinantes e reconhecer algumas propriedades que podem facilitar o processo.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um determinante. O determinante de uma matriz quadrada (n × n) é um valor que pode ser calculado a partir dos seus elementos e que tem várias propriedades importantes na álgebra linear, como verificar se uma matriz é invertível.

Passo 3

Para calcular o determinante de uma matriz 3 × 3, usamos a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. Vamos usar a regra de Sarrus aqui, que é uma maneira direta e visual de calcular determinantes 3 × 3.

Passo 4

Aplicando a regra de Sarrus à nossa matriz:
3 & 1 & 2 2 & 4 & 5 2 & 4 & 5
Duplicamos as duas primeiras colunas à direita:
ccc|cc 3 & 1 & 2 & 3 & 1 2 & 4 & 5 & 2 & 4 2 & 4 & 5 & 2 & 4

Passo 5

Agora, somamos os produtos das diagonais descendentes e subtraímos os produtos das diagonais ascendentes.
Diagonais descendentes:
Somando esses valores:
Diagonais ascendentes:
Somando esses valores:

Passo 6

Agora, subtraímos a soma das diagonais ascendentes da soma das diagonais descendentes:
86 - 99 = -13

Passo 7

Mas espera aí! Antes de confirmar, vamos observar uma propriedade importante dos determinantes: se uma matriz tem duas linhas iguais ou proporcionais, seu determinante é zero. Dá uma olhada na nossa matriz:
3 & 1 & 2 2 & 4 & 5 2 & 4 & 5
As duas últimas linhas são idênticas, o que significa que o determinante dessa matriz deve ser zero.

Resposta

O determinante da matriz dada é 0.

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