Demonstre as afirmações seguintes: .
(a) Se A tem uma linha nula, então A B tem uma linha nula.
(b) Se B tem uma coluna nula, ent ao AB tem uma coluna nula.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos duas afirmações sobre matrizes. Primeiro, se a matriz A tem uma linha que é toda zeros, então o produto AB também terá uma linha toda zeros. Segundo, se a matriz B tem uma coluna que é toda zeros, então o produto AB terá uma coluna toda zeros. Vamos usar conceitos de multiplicação de matrizes para provar essas afirmações.

Passo 2

Vamos começar com a primeira afirmação: “Se A tem uma linha nula, então AB tem uma linha nula.”
Imagine que A é uma matriz de dimensão m times n e B é uma matriz de dimensão n times p. Quando multiplicamos A por B, o elemento na posição (i,j) da matriz produto AB é a soma dos produtos dos elementos da linha i de A pelos elementos da coluna j de B.

Passo 3

Agora, suponha que a linha k de A é uma linha nula, ou seja, todos os elementos dessa linha são zero: Ak1 = Ak2 = dots = Akn = 0. Quando multiplicamos essa linha por qualquer coluna de B, cada termo na soma será zero, porque estamos multiplicando zeros pelos elementos correspondentes de B.

Passo 4

Portanto, todos os elementos da linha k de AB serão:
(AB)kj = Ak1B1j + Ak2B2j + dots + AknBnj = 0 + 0 + dots + 0 = 0
Isso mostra que a linha k de AB também é uma linha nula.

Passo 5

Agora, vamos para a segunda afirmação: “Se B tem uma coluna nula, então AB tem uma coluna nula.”
Novamente, considere que A é m times n e B é n times p. Se a coluna l de B é nula, então todos os elementos dessa coluna são zero: B1l = B2l = dots = Bnl = 0.

Passo 6

Ao multiplicar A por B, o elemento na posição (i,l) de AB será:
(AB)il = Ai1B1l + Ai2B2l + dots + AinBnl = Ai1 cdot 0 + Ai2 cdot 0 + dots + Ain cdot 0 = 0

Passo 7

Assim, todos os elementos da coluna l de AB serão zero, o que significa que a coluna l de AB é uma coluna nula.

Resposta

Demonstramos que:
(a) Se A tem uma linha nula, então AB também tem uma linha nula.
(b) Se B tem uma coluna nula, então AB também tem uma coluna nula.

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