Demonstre as afirmações seguintes: .
(a) Se
tem uma linha nula, então
tem uma linha nula.
(b) Se
tem uma coluna nula, ent ao AB tem uma coluna nula.
(a) Se
(b) Se
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos duas afirmações sobre matrizes. Primeiro, se a matriz
tem uma linha que é toda zeros, então o produto
também terá uma linha toda zeros. Segundo, se a matriz
tem uma coluna que é toda zeros, então o produto
terá uma coluna toda zeros. Vamos usar conceitos de multiplicação de matrizes para provar essas afirmações.
Passo 2
Vamos começar com a primeira afirmação: “Se
tem uma linha nula, então
tem uma linha nula.”
Imagine que
é uma matriz de dimensão
e
é uma matriz de dimensão
. Quando multiplicamos
por
, o elemento na posição
da matriz produto
é a soma dos produtos dos elementos da linha
de
pelos elementos da coluna
de
.
Passo 3
Agora, suponha que a linha
de
é uma linha nula, ou seja, todos os elementos dessa linha são zero:
. Quando multiplicamos essa linha por qualquer coluna de
, cada termo na soma será zero, porque estamos multiplicando zeros pelos elementos correspondentes de
.
Passo 4
Portanto, todos os elementos da linha
de
serão:
Isso mostra que a linha
de
também é uma linha nula.
Passo 5
Agora, vamos para a segunda afirmação: “Se
tem uma coluna nula, então
tem uma coluna nula.”
Novamente, considere que
é
e
é
. Se a coluna
de
é nula, então todos os elementos dessa coluna são zero:
.
Passo 6
Ao multiplicar
por
, o elemento na posição
de
será:
Passo 7
Assim, todos os elementos da coluna
de
serão zero, o que significa que a coluna
de
é uma coluna nula.
Resposta
Demonstramos que:
(a) Se
tem uma linha nula, então
também tem uma linha nula.
(b) Se
tem uma coluna nula, então
também tem uma coluna nula.