Calcule os seguintes determinantes:
(h) |rrrr2 & 1 & 2 & 1 3 & 0 & 1 & 1 -1 & 2 & -2 & 1 -3 & 2 & 3 & 1|

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular o determinante de uma matriz 4x4. Determinantes são números que a gente calcula a partir de matrizes e que servem para várias coisas na matemática, como resolver sistemas de equações. Para resolver isso, vamos precisar saber como expandir determinantes usando cofatores.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma linha ou coluna para expandir o determinante. Geralmente, é mais fácil escolher a linha ou coluna com mais zeros, mas nesse caso não tem nenhuma. Vou escolher a primeira linha para facilitar.

Passo 3

A fórmula para o determinante usando cofatores na primeira linha é:
det(A) = a11C11 + a12C12 + a13C13 + a14C14
onde aij são os elementos da matriz e Cij são os cofatores correspondentes.

Passo 4

Vamos calcular cada cofator C1j. O cofator é dado por:
Cij = (-1)^i+jMij
onde Mij é a matriz menor, que é a matriz resultante de remover a linha i e a coluna j da matriz original.

Passo 5

Vamos calcular cada M1j:
  • Para M11, removemos a primeira linha e a primeira coluna:
M11 = 0 & 1 & 1 2 & -2 & 1 2 & 3 & 1
  • Para M12, removemos a primeira linha e a segunda coluna:
M12 = 3 & 1 & 1 -1 & -2 & 1 -3 & 3 & 1
  • Para M13, removemos a primeira linha e a terceira coluna:
M13 = 3 & 0 & 1 -1 & 2 & 1 -3 & 2 & 1
  • Para M14, removemos a primeira linha e a quarta coluna:
M14 = 3 & 0 & 1 -1 & 2 & -2 -3 & 2 & 3

Passo 6

Agora, vamos calcular cada determinante menor M1j:
  • Calculando M11:
M11 = 0 cdot -2 & 1 3 & 1 - 1 cdot 2 & 1 2 & 1 + 1 cdot 2 & -2 2 & 3
= 0 - 1(2 cdot 1 - 1 cdot 2) + 1(2 cdot 3 - (-2) cdot 2)
= 0 - 1(0) + 1(6 + 4) = 10
  • Calculando M12:
M12 = 3 cdot -2 & 1 3 & 1 - 1 cdot -1 & 1 -3 & 1 + 1 cdot -1 & -2 -3 & 3
= 3((-2)(1) - (1)(3)) - 1((-1)(1) - (1)(-3)) + 1((-1)(3) - (-2)(-3))
= 3(-2 - 3) - 1(-1 + 3) + 1(-3 - 6)
= 3(-5) - 1(2) + 1(-9) = -15 - 2 - 9 = -26
  • Calculando M13:
M13 = 3 cdot 2 & 1 2 & 1 - 0 cdot -1 & 1 -3 & 1 + 1 cdot -1 & 2 -3 & 2
= 3(2 cdot 1 - 1 cdot 2) - 0 + 1((-1)(2) - 2(-3))
= 3(0) + 1(-2 + 6) = 4
  • Calculando M14:
M14 = 3 cdot 2 & -2 2 & 3 - 0 cdot -1 & -2 -3 & 3 + 1 cdot -1 & 2 -3 & 2
= 3(2 cdot 3 - (-2) cdot 2) - 0 + 1((-1)(2) - 2(-3))
= 3(6 + 4) + 1(-2 + 6) = 30 + 4 = 34

Passo 7

Agora, aplicamos os sinais dos cofatores:
C11 = (-1)^1+1 cdot M11 = 1 cdot 10 = 10
C12 = (-1)^1+2 cdot M12 = -1 cdot (-26) = 26
C13 = (-1)^1+3 cdot M13 = -1 cdot 4 = -4
C14 = (-1)^1+4 cdot M14 = 1 cdot 34 = 34

Passo 8

Finalmente, substituímos na fórmula do determinante:
det(A) = 2 cdot 10 + 1 cdot 26 + 2 cdot (-4) + 1 cdot 34
= 20 + 26 - 8 + 34 = 72

Resposta

O determinante da matriz dada é 72.

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