Seja o subespaço S gerado pela base ortogonal (0,1,0),(-4,0,3). Encontre a projeção do vetor (1,1,1) em S.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um subespaço gerado por uma base ortogonal no espaço tridimensional. Nosso objetivo é encontrar a projeção do vetor nesse subespaço .
Aqui, vamos usar conceitos de álgebra linear relacionados a subespaços, bases ortogonais e projeções de vetores. Precisaremos aplicar a fórmula da projeção de um vetor em um subespaço gerado por uma base ortogonal.

Passo 2

Como a base de projS v = sumi=1^n ( v cdot uiui cdot ui ) ui é ortogonal, podemos usar a seguinte fórmula para encontrar a projeção de em :
onde são os vetores da base ortogonal.

Passo 3

Vamos identificar os vetores da base:
u1 = (0,1,0), u2 = (-4,0,3)
E o vetor que queremos projetar:
v = (1,1,1)

Passo 4

Primeiro, calculamos o produto interno de v cdot u1 = 1 times 0 + 1 times 1 + 1 times 0 = 1 com cada vetor da base:
v cdot u2 = 1 times (-4) + 1 times 0 + 1 times 3 = -4 + 0 + 3 = -1

Passo 5

Agora, calculamos o produto interno de cada vetor da base consigo mesmo:
u1 cdot u1 = 0^2 + 1^2 + 0^2 = 1
u2 cdot u2 = (-4)^2 + 0^2 + 3^2 = 16 + 0 + 9 = 25

Passo 6

Aplicamos a fórmula da projeção:
projS v = ( 11 ) u1 + ( -125 ) u2
projS v = 1 times (0,1,0) + ( -125 ) times (-4,0,3)

Passo 7

Calculamos cada termo separadamente:
1 times (0,1,0) = (0,1,0)
-125 times (-4,0,3) = ( 425, 0, -325 )

Passo 8

Somamos os resultados obtidos:
projS v = (0,1,0) + ( 425, 0, -325 ) = ( 425, 1, -325 )

Resposta

A projeção do vetor no subespaço é .

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