Seja o subespaço
gerado pela base ortogonal
. Encontre a projeção do vetor
em
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um subespaço
gerado por uma base ortogonal
no espaço tridimensional. Nosso objetivo é encontrar a projeção do vetor
nesse subespaço
.
Aqui, vamos usar conceitos de álgebra linear relacionados a subespaços, bases ortogonais e projeções de vetores. Precisaremos aplicar a fórmula da projeção de um vetor em um subespaço gerado por uma base ortogonal.
Passo 2
Como a base de
é ortogonal, podemos usar a seguinte fórmula para encontrar a projeção de
em
:
onde
são os vetores da base ortogonal.
Passo 3
Vamos identificar os vetores da base:
E o vetor que queremos projetar:
Passo 4
Primeiro, calculamos o produto interno de
com cada vetor da base:
Passo 5
Agora, calculamos o produto interno de cada vetor da base consigo mesmo:
Passo 6
Aplicamos a fórmula da projeção:
Passo 7
Calculamos cada termo separadamente:
Passo 8
Somamos os resultados obtidos:
Resposta
A projeção do vetor
no subespaço
é
.