Calcule os seguintes determinantes:
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse determinante juntos! O que a gente tem aqui é uma matriz 5x5 cheia de zeros, com alguns números diferentes. A matéria que estamos usando é de determinantes, e vamos precisar saber como calcular determinantes de matrizes grandes, especialmente quando a matriz tem muitos zeros, o que facilita bastante a nossa vida.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na matriz:
Vimos que só tem alguns números diferentes de zero: 5, -4, 3, 1 e -2.
Passo 3
Quando a matriz tem muitos zeros, a gente pode aproveitar isso para simplificar o cálculo do determinante. A ideia é selecionar um número de cada linha e de cada coluna sem repetir, e multiplicar esses números. Depois, a gente soma todos esses produtos, levando em conta um sinal que depende de como escolhemos os números.
Passo 4
Vamos identificar quais são esses números na nossa matriz:
- Da primeira linha, só tem um número diferente de zero: 5 na coluna 1.
- Da segunda linha, só tem um número diferente de zero: -4 na coluna 5.
- Da terceira linha, só tem um número diferente de zero: 3 na coluna 3.
- Da quarta linha, só tem um número diferente de zero: 1 na coluna 4.
- Da quinta linha, só tem um número diferente de zero: -2 na coluna 2.
Passo 5
Agora, vamos ver qual é a ordem das colunas que estamos usando: 1, 5, 3, 4, 2. Isso forma uma permutação dos números de 1 a 5. Precisamos saber se essa permutação é par ou ímpar para determinar o sinal que vai acompanhar o produto.
Passo 6
Para descobrir o sinal, contamos quantas vezes os números estão “invertidos” na permutação. Aqui, temos 5 inversões, que é um número ímpar. Então, o sinal da nossa permutação é -1.
Passo 7
Agora, multiplicamos os números que selecionamos:
Passo 8
Por fim, aplicamos o sinal da permutação:
Resposta
O determinante da matriz é -120.