Nas afirmativas abaixo, A, B e C são matrizes de ordens apropriadas para as operações indicadas.
(l) ( ) Se A B=C e duas das matrizes são singulares (não inversíveis), então a terceira também é.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nessa questão. A gente tem três matrizes, A, B e C, que se relacionam pela equação A B = C. A questão está perguntando: se duas dessas matrizes são singulares (ou seja, não têm inversa), então a terceira também vai ser singular? Para resolver isso, vamos precisar entender o que é matriz singular e como a multiplicação de matrizes funciona em relação à inversibilidade.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma matriz singular. Uma matriz é singular se ela não possui uma matriz inversa. Isso acontece quando o determinante da matriz é zero. Se uma matriz é inversível, ela é chamada de não singular.

Passo 3

Agora, vamos pensar na multiplicação de matrizes. Se A e B são matrizes inversíveis, então C = A B também é inversível, e sua inversa é dada por C^-1 = B^-1 A^-1. Mas o que acontece se uma ou ambas as matrizes não forem inversíveis?

Passo 4

Vamos considerar o caso da questão: duas das matrizes são singulares. Vamos ver dois cenários:
  1. A e B são singulares: Se ambas são singulares, então o produto A B também é singular. Isso porque o determinante de C seria o produto dos determinantes de A e B, e se pelo menos um deles for zero, o determinante de C também será zero.
  2. A e C são singulares: Se A é singular, isso não garante necessariamente que B seja singular, mas como C = A B e A não tem inversa, para C existir, B deve ter uma compatibilidade que pode ou não levar à singularidade de B.

Passo 5

No entanto, a afirmação geral é que se duas das três matrizes são singulares, a terceira também será. Observando o primeiro cenário, isso acontece. No segundo cenário, mesmo que A e C sejam singulares, isso implica que B também deve ser singular para que a multiplicação funcione corretamente sem inversas.

Resposta

A afirmação é verdadeira: se duas das matrizes A, B e C são singulares, então a terceira também é.

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