Nas afirmativas abaixo,
e
são matrizes de ordens apropriadas para as operações indicadas.
(l) ( ) Se
e duas das matrizes são singulares (não inversíveis), então a terceira também é.
(l) ( ) Se
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nessa questão. A gente tem três matrizes,
,
e
, que se relacionam pela equação
. A questão está perguntando: se duas dessas matrizes são singulares (ou seja, não têm inversa), então a terceira também vai ser singular? Para resolver isso, vamos precisar entender o que é matriz singular e como a multiplicação de matrizes funciona em relação à inversibilidade.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma matriz singular. Uma matriz é singular se ela não possui uma matriz inversa. Isso acontece quando o determinante da matriz é zero. Se uma matriz é inversível, ela é chamada de não singular.
Passo 3
Agora, vamos pensar na multiplicação de matrizes. Se
e
são matrizes inversíveis, então
também é inversível, e sua inversa é dada por
. Mas o que acontece se uma ou ambas as matrizes não forem inversíveis?
Passo 4
Vamos considerar o caso da questão: duas das matrizes são singulares. Vamos ver dois cenários:
-
e são singulares: Se ambas são singulares, então o produto também é singular. Isso porque o determinante de seria o produto dos determinantes de e , e se pelo menos um deles for zero, o determinante de também será zero. -
e são singulares: Se é singular, isso não garante necessariamente que seja singular, mas como e não tem inversa, para existir, deve ter uma compatibilidade que pode ou não levar à singularidade de .
Passo 5
No entanto, a afirmação geral é que se duas das três matrizes são singulares, a terceira também será. Observando o primeiro cenário, isso acontece. No segundo cenário, mesmo que
e
sejam singulares, isso implica que
também deve ser singular para que a multiplicação funcione corretamente sem inversas.
Resposta
A afirmação é verdadeira: se duas das matrizes
,
e
são singulares, então a terceira também é.