Calcule as seguintes integrais:
(b) , onde é formada por e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de linha que o exercício propôs. A gente precisa calcular a integral dada por:
Aqui, a curva é formada pelas retas , e . Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o Teorema de Green, para simplificar essa integral.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma integral de linha fechada. Ela percorre uma curva fechada e integra um campo vetorial ao longo dessa curva. No nosso caso, o campo vetorial é:

Passo 3

Agora, para facilitar o cálculo, vamos aplicar o Teorema de Green. Esse teorema relaciona a integral de linha ao redor de uma curva fechada com a integral dupla sobre a região limitada por . A fórmula do Teorema de Green é:
Onde e .

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Agora, a diferença dessas derivadas é:

Passo 5

Com isso, a integral dupla fica simples:
Essa integral representa a área da região limitada pela curva .

Passo 6

Vamos identificar a região . As retas que formam são:
  1. (eixo )
  2. (eixo )
Resolvendo essas equações, encontramos os vértices do triângulo:
  • Interseção de e :
  • Interseção de e :
  • Interseção de e :
A área de um triângulo é dada por:
Á
Aqui, a base é 4 (de a ) e a altura é 2 (de a ).
Á

Resposta

A integral vale 4.

Exercícios relacionados

Verifique o Teorema de Green, calculando as duas integrais do enunciado, para , onde é a região interior à elipse .
Calcule , onde
(b) e é a interseção das superfícies e , com e , percorrida uma vez do ponto ao ponto .
Calcule as seguintes integrais:
(f) , onde é a fronteira da região entre as circunferências e , orientada positivamente.
Calcule as seguintes integrais:
© , onde é a poligonal aberta que une os pontos e , nesta ordem.