Calcule as seguintes integrais:
(b)
, onde
é formada por
e
.
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral de linha que o exercício propôs. A gente precisa calcular a integral dada por:
Aqui, a curva
é formada pelas retas
,
e
. Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o Teorema de Green, para simplificar essa integral.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma integral de linha fechada. Ela percorre uma curva fechada
e integra um campo vetorial ao longo dessa curva. No nosso caso, o campo vetorial é:
Passo 3
Agora, para facilitar o cálculo, vamos aplicar o Teorema de Green. Esse teorema relaciona a integral de linha ao redor de uma curva fechada com a integral dupla sobre a região
limitada por
. A fórmula do Teorema de Green é:
Onde
e
.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Agora, a diferença dessas derivadas é:
Passo 5
Com isso, a integral dupla fica simples:
Essa integral representa a área da região
limitada pela curva
.
Passo 6
Vamos identificar a região
. As retas que formam
são:
-
(eixo ) -
-
(eixo )
Resolvendo essas equações, encontramos os vértices do triângulo:
- Interseção de
e : - Interseção de
e : - Interseção de
e :
A área de um triângulo é dada por:
Aqui, a base é 4 (de
a
) e a altura é 2 (de
a
).
Resposta
A integral vale 4.
Exercícios relacionados
Verifique o Teorema de Green, calculando as duas integrais do enunciado, para
, onde
é a região interior à elipse
.
Calcule
, onde
(b) e
é a interseção das superfícies
e
, com
e
, percorrida uma vez do ponto
ao ponto
.
(b)
Calcule as seguintes integrais:
(f) , onde
é a fronteira da região
entre as circunferências
e
, orientada positivamente.
(f)
Calcule as seguintes integrais:
© , onde
é a poligonal aberta que une os pontos
e
, nesta ordem.
©