Calcule as seguintes integrais:
(b) ointC -x y1+x d x+ln (1+x) d y, onde C é formada por y=0, x+2 y=4 e x=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de linha que o exercício propôs. A gente precisa calcular a integral dada por:
ointC -x y1+x , dx + ln(1+x) , dy
Aqui, a curva é formada pelas retas , e . Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o Teorema de Green, para simplificar essa integral.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma integral de linha fechada. Ela percorre uma curva fechada F(x, y) = ( -x y1+x, ln(1+x) ) e integra um campo vetorial ao longo dessa curva. No nosso caso, o campo vetorial é:

Passo 3

Agora, para facilitar o cálculo, vamos aplicar o Teorema de Green. Esse teorema relaciona a integral de linha ao redor de uma curva fechada com a integral dupla sobre a região ointC P , dx + Q , dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) , dA limitada por . A fórmula do Teorema de Green é:
Onde e .

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
partial Qpartial x = ddx ln(1+x) = 11+x
partial Ppartial y = ddy ( -x y1+x ) = -x1+x
Agora, a diferença dessas derivadas é:
partial Qpartial x - partial Ppartial y = 11+x - ( -x1+x ) = 1 + x1 + x = 1

Passo 5

Com isso, a integral dupla fica simples:
integral duplaD 1 , dA
Essa integral representa a área da região limitada pela curva .

Passo 6

Vamos identificar a região Área = base times a. As retas que formam Área = 4 times 22 = 4 são:
  1. (eixo )
  2. (eixo )
Resolvendo essas equações, encontramos os vértices do triângulo:
  • Interseção de e :
  • Interseção de e :
  • Interseção de e :
A área de um triângulo é dada por:
Á
Aqui, a base é 4 (de a ) e a altura é 2 (de a ).
Á

Resposta

A integral vale 4.

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