Verifique o Teorema de Green, calculando as duas integrais do enunciado, para , onde é a região interior à elipse .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar o Teorema de Green calculando duas integrais para o campo vetorial , onde a região é o interior da elipse definida por . O Teorema de Green relaciona uma integral de linha ao redor da fronteira de uma região com uma integral dupla sobre a própria região. Para resolver, vamos precisar entender o Teorema de Green e saber como calcular tanto a integral de linha quanto a integral dupla.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema de Green. Ele nos diz que para um campo vetorial , a integral de linha ao redor de uma curva fechada que delimita a região é igual à integral dupla sobre da diferença das derivadas parciais de em relação a e de em relação a :
Então, vamos calcular essas duas integrais para verificar se o Teorema de Green vale nesse caso.

Passo 3

Vamos começar calculando a integral de linha ao redor da elipse . Para isso, precisamos parametrizar a elipse. Uma parametrização comum para uma elipse com semi-eixos e é:
Com essa parametrização, podemos expressar e em termos de :

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral de linha . Substituindo e nossa parametrização:
Substituindo , , , e :
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos integrar essa expressão de a :
Vamos calcular cada parte separadamente.
Primeiro, . Sabemos que , então essa parte resulta em .
Segundo, . Usando a identidade :
Terceiro, . Usando a identidade :
Somando todas as partes:

Passo 6

Agora, vamos calcular a integral dupla . Primeiro, identificamos e do campo vetorial :
Calculando as derivadas parciais:
Então,
Então, a integral dupla fica:
Á
A região é a elipse . A área de uma elipse é dada por , onde e são os semi-eixos. Aqui, e , então:
Á
Portanto,

Resposta

Como calculamos, tanto a integral de linha quanto a integral dupla resultaram em . Portanto, o Teorema de Green é verificado nesse caso.

Exercícios relacionados

Calcule , onde
(b) e é a interseção das superfícies e , com e , percorrida uma vez do ponto ao ponto .
Calcule , do ponto ao ponto , ao longo dos seguintes caminhos:
(b) interseção das superfícies e .
Calcule as seguintes integrais:
(b) , onde é formada por e .
Calcule as seguintes integrais:
(f) , onde é a fronteira da região entre as circunferências e , orientada positivamente.