Verifique o Teorema de Green, calculando as duas integrais do enunciado, para F(x, y) = (4x - 2y, 2x + 6y), onde D é a região interior à elipse x^2/4 + y^2 = 1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar o Teorema de Green calculando duas integrais para o campo vetorial , onde a região D é o interior da elipse definida por . O Teorema de Green relaciona uma integral de linha ao redor da fronteira de uma região com uma integral dupla sobre a própria região. Para resolver, vamos precisar entender o Teorema de Green e saber como calcular tanto a integral de linha quanto a integral dupla.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema de Green. Ele nos diz que para um campo vetorial , a integral de linha ao redor de uma curva fechada C que delimita a região D é igual à integral dupla sobre D da diferença das derivadas parciais de Q em relação a x e de P em relação a y:
Então, vamos calcular essas duas integrais para verificar se o Teorema de Green vale nesse caso.

Passo 3

Vamos começar calculando a integral de linha ao redor da elipse . Para isso, precisamos parametrizar a elipse. Uma parametrização comum para uma elipse com semi-eixos a = 2 e b = 1 é:
Com essa parametrização, podemos expressar e em termos de :

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral de linha . Substituindo e nossa parametrização:
Substituindo , , , e :
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos integrar essa expressão de a :
Vamos calcular cada parte separadamente.
Primeiro, . Sabemos que , então essa parte resulta em 0.
Segundo, . Usando a identidade :
Terceiro, . Usando a identidade :
Somando todas as partes:

Passo 6

Agora, vamos calcular a integral dupla . Primeiro, identificamos P e Q do campo vetorial :
Calculando as derivadas parciais:
Então,
Então, a integral dupla fica:
Á
A região D é a elipse . A área de uma elipse é dada por pi a b, onde a e b são os semi-eixos. Aqui, a = 2 e b = 1, então:
Á
Portanto,

Resposta

Como calculamos, tanto a integral de linha quanto a integral dupla resultaram em . Portanto, o Teorema de Green é verificado nesse caso.

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