Verifique o Teorema de Green, calculando as duas integrais do enunciado, para
, onde
é a região interior à elipse
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar o Teorema de Green calculando duas integrais para o campo vetorial
, onde a região
é o interior da elipse definida por
. O Teorema de Green relaciona uma integral de linha ao redor da fronteira de uma região com uma integral dupla sobre a própria região. Para resolver, vamos precisar entender o Teorema de Green e saber como calcular tanto a integral de linha quanto a integral dupla.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema de Green. Ele nos diz que para um campo vetorial
, a integral de linha ao redor de uma curva fechada
que delimita a região
é igual à integral dupla sobre
da diferença das derivadas parciais de
em relação a
e de
em relação a
:
Então, vamos calcular essas duas integrais para verificar se o Teorema de Green vale nesse caso.
Passo 3
Vamos começar calculando a integral de linha ao redor da elipse
. Para isso, precisamos parametrizar a elipse. Uma parametrização comum para uma elipse com semi-eixos
e
é:
Com essa parametrização, podemos expressar
e
em termos de
:
Passo 4
Agora, vamos calcular a integral de linha
. Substituindo
e nossa parametrização:
Substituindo
,
,
, e
:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos integrar essa expressão de
a
:
Vamos calcular cada parte separadamente.
Primeiro,
. Sabemos que
, então essa parte resulta em
.
Segundo,
. Usando a identidade
:
Terceiro,
. Usando a identidade
:
Somando todas as partes:
Passo 6
Agora, vamos calcular a integral dupla
. Primeiro, identificamos
e
do campo vetorial
:
Calculando as derivadas parciais:
Então,
Então, a integral dupla fica:
A região
é a elipse
. A área de uma elipse é dada por
, onde
e
são os semi-eixos. Aqui,
e
, então:
Portanto,
Resposta
Como calculamos, tanto a integral de linha quanto a integral dupla resultaram em
. Portanto, o Teorema de Green é verificado nesse caso.
Exercícios relacionados
Calcule
, onde
(b) e
é a interseção das superfícies
e
, com
e
, percorrida uma vez do ponto
ao ponto
.
(b)
Calcule
, do ponto
ao ponto
, ao longo dos seguintes caminhos:
(b) interseção das superfícies e
.
(b) interseção das superfícies
Calcule as seguintes integrais:
(b) , onde
é formada por
e
.
(b)
Calcule as seguintes integrais:
(f) , onde
é a fronteira da região
entre as circunferências
e
, orientada positivamente.
(f)