Calcule , onde
(b) e é a interseção das superfícies e , com e , percorrida uma vez do ponto ao ponto .

Passo 1

Vamos calcular a integral de linha , onde e é a interseção das superfícies e , com as condições e . O percurso vai do ponto ao ponto . Vamos precisar usar conceitos de parametrização de curvas e cálculo de integrais de linha.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a curva que é a interseção das duas superfícies:
  1. é uma elipse no plano .
  2. é um círculo no plano .
Para encontrar a interseção, igualamos as duas expressões para :

Passo 3

Agora, parametrizamos a curva . Sabemos que:
Substituindo na primeira equação:
Podemos parametrizar usando um ângulo :
onde varia de a para cobrir o percurso de a .

Passo 4

Com a parametrização, calculamos as derivadas em relação a :

Passo 5

Substituímos na expressão da integral de linha:
Substituindo , , e suas derivadas:
Sabemos que , então:

Passo 6

Calculamos a integral:
E:
Portanto:

Resposta

O valor da integral é .

Exercícios relacionados

Calcule , do ponto ao ponto , ao longo dos seguintes caminhos:
(b) interseção das superfícies e .
Calcule , ao longo dos seguintes caminhos fechados, orientados no sentido anti-horário.
© triângulo de vértices e .
Verifique o Teorema de Green, calculando as duas integrais do enunciado, para , onde é a região interior à elipse .
Calcule as seguintes integrais:
(b) , onde é formada por e .