Calcule
, onde
(b)
e
é a interseção das superfícies
e
, com
e
, percorrida uma vez do ponto
ao ponto
.
(b)
Passo 1
Vamos calcular a integral de linha
, onde
e
é a interseção das superfícies
e
, com as condições
e
. O percurso vai do ponto
ao ponto
. Vamos precisar usar conceitos de parametrização de curvas e cálculo de integrais de linha.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a curva
que é a interseção das duas superfícies:
-
é uma elipse no plano . -
é um círculo no plano .
Para encontrar a interseção, igualamos as duas expressões para
:
Passo 3
Agora, parametrizamos a curva
. Sabemos que:
Substituindo
na primeira equação:
Podemos parametrizar usando um ângulo
:
onde
varia de
a
para cobrir o percurso de
a
.
Passo 4
Com a parametrização, calculamos as derivadas em relação a
:
Passo 5
Substituímos na expressão da integral de linha:
Substituindo
,
,
e suas derivadas:
Sabemos que
, então:
Passo 6
Calculamos a integral:
E:
Portanto:
Resposta
O valor da integral é
.
Exercícios relacionados
Calcule
, do ponto
ao ponto
, ao longo dos seguintes caminhos:
(b) interseção das superfícies e
.
(b) interseção das superfícies
Calcule
, ao longo dos seguintes caminhos fechados, orientados no sentido anti-horário.
© triângulo de vértices e
.
© triângulo de vértices
Verifique o Teorema de Green, calculando as duas integrais do enunciado, para
, onde
é a região interior à elipse
.
Calcule as seguintes integrais:
(b) , onde
é formada por
e
.
(b)