Calcule integralC P d x+Q d y+R d z, onde
(b) F=(P, Q, R)=(-2 y, z, x) e C é a interseção das superfícies 4 x^2+y^2=1 e y^2+z^2=1, com x >= 0 e z >= 0, percorrida uma vez do ponto (0,-1,0) ao ponto (0,1,0).

Passo 1

Vamos calcular a integral de linha integralC P , dx + Q , dy + R , dz, onde F = (P, Q, R) = (-2y, z, x) e C é a interseção das superfícies 4x^2 + y^2 = 1 e y^2 + z^2 = 1, com as condições x >= 0 e z >= 0. O percurso vai do ponto (0, -1, 0) ao ponto (0, 1, 0). Vamos precisar usar conceitos de parametrização de curvas e cálculo de integrais de linha.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a curva C que é a interseção das duas superfícies:
  1. 4x^2 + y^2 = 1 é uma elipse no plano xy.
  2. y^2 + z^2 = 1 é um círculo no plano yz.
Para encontrar a interseção, igualamos as duas expressões para y^2:
4x^2 + y^2 = y^2 + z^2 implies 4x^2 = z^2 implies z = 2x (como z >= 0 e x >= 0)

Passo 3

Agora, parametrizamos a curva C. Sabemos que:
y^2 + z^2 = 1 e z = 2x
Substituindo z na primeira equação:
y^2 + (2x)^2 = 1 implies y^2 + 4x^2 = 1
Podemos parametrizar usando um ângulo theta:
x = 12 cos theta y = sin theta z = cos theta
onde theta varia de -pi2 a pi2 para cobrir o percurso de (0, -1, 0) a (0, 1, 0).

Passo 4

Com a parametrização, calculamos as derivadas em relação a theta:
dxdtheta = -12 sin theta dydtheta = cos theta dzdtheta = -sin theta

Passo 5

Substituímos na expressão da integral de linha:
integralC P , dx + Q , dy + R , dz = integral-pi2^pi2 [ -2y cdot dxdtheta + z cdot dydtheta + x cdot dzdtheta ] dtheta
Substituindo y, z, x e suas derivadas:
= integral-pi2^pi2 [ -2sin theta cdot (-12 sin theta) + cos theta cdot cos theta + 12 cos theta cdot (-sin theta) ] dtheta = integral-pi2^pi2 [ sin^2 theta + cos^2 theta - 12 sin theta cos theta ] dtheta
Sabemos que sin^2 theta + cos^2 theta = 1, então:
= integral-pi2^pi2 [ 1 - 12 sin theta cos theta ] dtheta

Passo 6

Calculamos a integral:
integral-pi2^pi2 1 , dtheta = pi
E:
integral-pi2^pi2 12 sin theta cos theta , dtheta = 14 [ sin^2 theta ]-pi2^pi2 = 14 (1 - 1) = 0
Portanto:
integralC P , dx + Q , dy + R , dz = pi - 0 = pi

Resposta

O valor da integral é pi.

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