Calcule as seguintes integrais:
© integral x+1raiz5-4 x-x^2 d x;
(Valor: (a) 1,5 pontos, (b) 1,5 pontos, © 1,5 pontos)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício está dentro do conteúdo de cálculo integral, mais especificamente envolvendo substituição trigonométrica ou completando o quadrado para simplificar o denominador. Para resolver, vamos precisar manipular expressões algébricas e aplicar técnicas de integração básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o denominador . Para isso, vamos completar o quadrado na expressão dentro da raiz.

Passo 3

Reescrevemos 5 - 4x - x^2 = -(x^2 + 4x - 5) de uma forma que facilite o completamento do quadrado:
x^2 + 4x = (x + 2)^2 - 4
Agora, completamos o quadrado para a expressão 5 - 4x - x^2 = -[(x + 2)^2 - 4 - 5] = -[(x + 2)^2 - 9] = 9 - (x + 2)^2 :
Substituindo de volta:

Passo 4

Agora, nossa integral fica:
integral x+1raiz9 - (x + 2)^2 , dx
Vamos fazer uma substituição para simplificar. Seja , então e .

Passo 5

Substituindo na integral:
integral (u - 2) + 1raiz9 - u^2 , du = integral u - 1raiz9 - u^2 , du
Podemos separar a integral em duas partes:
integral uraiz9 - u^2 , du - integral 1raiz9 - u^2 , du

Passo 6

Vamos resolver cada parte separadamente:
  1. -12 integral 1raizv , dv = -12 cdot 2 raizv = -raiz9 - u^2 :
    Seja , então , ou seja, .
    A integral fica:
  2. :
    Essa é uma integral padrão que resulta em .

Passo 7

Juntando as duas partes, temos:
- raiz9 - u^2 - arcsin(u3) + C
Lembrando que - raiz9 - (x + 2)^2 - arcsin(x + 23) + C , substituímos de volta:

Resposta

A integral - raiz9 - (x + 2)^2 - arcsin(x + 23) + C é igual a:

Exercícios relacionados