Calcule as seguintes integrais:
©
;
(Valor: (a) 1,5 pontos, (b) 1,5 pontos, © 1,5 pontos)
©
(Valor: (a) 1,5 pontos, (b) 1,5 pontos, © 1,5 pontos)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Esse exercício está dentro do conteúdo de cálculo integral, mais especificamente envolvendo substituição trigonométrica ou completando o quadrado para simplificar o denominador. Para resolver, vamos precisar manipular expressões algébricas e aplicar técnicas de integração básicas.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o denominador
. Para isso, vamos completar o quadrado na expressão dentro da raiz.
Passo 3
Reescrevemos
de uma forma que facilite o completamento do quadrado:
Agora, completamos o quadrado para a expressão
:
Substituindo de volta:
Passo 4
Agora, nossa integral fica:
Vamos fazer uma substituição para simplificar. Seja
, então
e
.
Passo 5
Substituindo na integral:
Podemos separar a integral em duas partes:
Passo 6
Vamos resolver cada parte separadamente:
-
:
Seja, então , ou seja, .
A integral fica: -
:
Essa é uma integral padrão que resulta em.
Passo 7
Juntando as duas partes, temos:
Lembrando que
, substituímos de volta:
Resposta
A integral
é igual a:
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Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F) as afirmações abaixo. Justifique sua resposta. (valor:
(a) 0,5 ponto, (b), © e (d) 1,0 ponto.)
© Existe uma função contínua tal que
para todo
e também que
e
.
(a) 0,5 ponto, (b), © e (d) 1,0 ponto.)
© Existe uma função
Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F) as afirmações abaixo. Justifique sua resposta. (valor:
(a) 0,5 ponto, (b), © e (d) 1,0 ponto.)
(d) Se , então
e
.
(a) 0,5 ponto, (b), © e (d) 1,0 ponto.)
(d) Se
Esboce o gráfico de
.
A funço
, define o volume de uma caixa. Qual é o maior volume