Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F) as afirmações abaixo. Justifique sua resposta. (valor:
(a) 0,5 ponto, (b), © e (d) 1,0 ponto.)
(d) Se f(x) = e^(arctg(1/3 * raiz(2 + cos^2(ln(x + 1))))), então f(0) = e^(pi / 6) e f'(0) = (pi / 6) e^(pi / 6).

Passo 1

Vamos analisar a afirmação: se , então e . Nosso objetivo é verificar se essa afirmação é verdadeira ou falsa. Para isso, precisamos calcular e e comparar com os valores fornecidos.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular . Substituindo na função:
Simplificando e :
Sabemos que , portanto:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada e depois encontrar . A função é composta, então usaremos a regra da cadeia.
Primeiro, vamos definir:
Então:
A derivada de em relação a é:
Agora, precisamos encontrar . Para isso, aplicamos a derivada da função :
Onde .
Calculando :
Simplificando e avaliando em :
Portanto:
Finalmente, a derivada :

Resposta

Falso. Embora seja verdadeiro, a derivada é igual a zero, não .

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