Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F) as afirmações abaixo. Justifique sua resposta. (valor:
(a) 0,5 ponto, (b), © e (d) 1,0 ponto.)
© Existe uma função
contínua tal que
para todo
e também que
e
.
(a) 0,5 ponto, (b), © e (d) 1,0 ponto.)
© Existe uma função
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que analisar a afirmação que diz se existe uma função contínua
que satisfaz duas condições:
-
para todo , ou seja, nunca cruza a linha . - Passa pelos pontos específicos
e .
Vamos precisar entender conceitos de funções contínuas e do Teorema do Valor Intermediário para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos interpretar o que a condição
significa. Podemos reescrever isso como
para todo
. Isso indica que o gráfico da função
nunca intercepta a linha reta
.
Passo 3
Agora, vamos avaliar os pontos dados:
- Quando
: - Quando
:
Vamos calcular
e
.
Passo 4
Observamos que
e
. Isso mostra que a função
muda de sinal entre
e
.
Passo 5
Segundo o Teorema do Valor Intermediário, se uma função contínua muda de sinal em um intervalo, ela deve cruzar o eixo zero nesse intervalo. Ou seja, existe pelo menos um
tal que
, o que contradiz a condição
para todo
.
Resposta
Falso. Não existe uma função contínua
que satisfaça todas as condições dadas, pois pelo Teorema do Valor Intermediário,
deve ser igual a zero em algum ponto entre
e
.
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Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F) as afirmações abaixo. Justifique sua resposta. (valor:
(a) 0,5 ponto, (b), © e (d) 1,0 ponto.)
(d) Se , então
e
.
(a) 0,5 ponto, (b), © e (d) 1,0 ponto.)
(d) Se
Calcule a integral a seguir: (valor: 1,0 ponto)
Calcule as seguintes integrais:
© ;
(Valor: (a) 1,5 pontos, (b) 1,5 pontos, © 1,5 pontos)
©
(Valor: (a) 1,5 pontos, (b) 1,5 pontos, © 1,5 pontos)
Esboce o gráfico de
.