Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F) as afirmações abaixo. Justifique sua resposta. (valor:
(a) 0,5 ponto, (b), © e (d) 1,0 ponto.)
© Existe uma função f: R -> R contínua tal que f(x) - x - 1 != 0 para todo x em R e também que f(0) = 3/2 e f(1) = 1 / 2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que analisar a afirmação que diz se existe uma função contínua que satisfaz duas condições:
  1. para todo , ou seja, nunca cruza a linha .
  2. Passa pelos pontos específicos e .
Vamos precisar entender conceitos de funções contínuas e do Teorema do Valor Intermediário para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos interpretar o que a condição significa. Podemos reescrever isso como para todo . Isso indica que o gráfico da função nunca intercepta a linha reta .

Passo 3

Agora, vamos avaliar os pontos dados:
  • Quando :
  • Quando :
Vamos calcular e .

Passo 4

Observamos que e . Isso mostra que a função muda de sinal entre e .

Passo 5

Segundo o Teorema do Valor Intermediário, se uma função contínua muda de sinal em um intervalo, ela deve cruzar o eixo zero nesse intervalo. Ou seja, existe pelo menos um tal que , o que contradiz a condição para todo .

Resposta

Falso. Não existe uma função contínua que satisfaça todas as condições dadas, pois pelo Teorema do Valor Intermediário, deve ser igual a zero em algum ponto entre e .

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