A funço
, define o volume de uma caixa. Qual é o maior volume
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem a função que descreve o volume de uma caixa:
onde
. Nosso objetivo aqui é encontrar qual é o maior volume que essa caixa pode ter e em que valor de
isso acontece. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, para identificar os pontos onde o volume atinge seu valor máximo.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a função
para facilitar os cálculos. Vamos multiplicar os termos:
Vamos multiplicar
por
:
Agora, multiplicamos esse resultado por
:
Então, a função simplificada fica:
Passo 3
Para encontrar o valor máximo do volume, precisamos encontrar os pontos críticos da função
. Esses pontos ocorrem onde a derivada de
em relação a
é igual a zero ou não existe. Vamos calcular a primeira derivada
:
Passo 4
Agora, precisamos resolver a equação
para encontrar os valores de
que podem entregar o volume máximo:
Podemos simplificar essa equação dividindo todos os termos por 4:
Passo 5
Vamos resolver a equação quadrática
usando a fórmula de Bhaskara:
Onde
,
, e
. Substituindo esses valores:
Então:
Isso nos dá duas soluções:
Passo 6
Vamos analisar os valores encontrados:
-
: Porém, lembrando que a restrição do problema é . Portanto, está fora do intervalo válido e descartamos essa solução. -
: Esse valor está dentro do intervalo , então vamos utilizá-lo.
Passo 7
Agora, vamos verificar se
realmente corresponde a um ponto de máximo. Para isso, podemos usar o teste da segunda derivada ou analisar o comportamento da derivada primeira em torno de
. Vamos calcular a segunda derivada
:
Substituindo
:
Como
, isso indica que a concavidade da função é para baixo nesse ponto, confirmando que
é um ponto de máximo.
Passo 8
Finalmente, vamos calcular o maior volume substituindo
na função
:
Resposta
O maior volume possível é de 144 unidades cúbicas e ocorre quando
.
Exercícios relacionados
Esboce o gráfico de
.
Calcule as seguintes integrais:
© ;
(Valor: (a) 1,5 pontos, (b) 1,5 pontos, © 1,5 pontos)
©
(Valor: (a) 1,5 pontos, (b) 1,5 pontos, © 1,5 pontos)
(a)
verouino doval