A funço V(x)=x(10-2 x)(16-2 x), 0, define o volume de uma caixa. Qual é o maior volume
l (1) possivel e quando e<= ocorre? (Valor 4,0 pontos) l possivel e quando e<= ocorre? (Va (50 x-2 x^2)(16 x-2 x^2) integral^4,0 12 x^2+raiz2 4 x+160 div 4 V(x)+360 x^2-20 x^2-32 x^2+4 x^4=12 x^2-36 L+40,0 (3 V(203)= l|l V(x) 4 x^3-52 x^2+160 x & 3 x^2-20 x-6 x+40=0 W 1^prime(x) cdot 10 x^2-104 x+100=3 x(x-2)-(-10(2 x+4)=0 203(10-2 203)(16 cdot 2 i (203(10-903)(16 403) (3) V(2): 4.2^3 cdot 52 cdot 2^2 cdot 160 cdot 2: 0 203(-103(83) 3 x(x-2)+(-20(x-2)=0 V(2)=4.8-52,4,320 l V(2)=4.8-52.4,320 V(2)=32-208+320 = x-2: 0 x=2 ow 3 x-20=0 x=-20 l x valor vai megatus x=2 x=-203 V(2)=J 44 a cralowar pessuel do

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem a função que descreve o volume de uma caixa:
V(x) = x(10 - 2x)(16 - 2x)
onde . Nosso objetivo aqui é encontrar qual é o maior volume que essa caixa pode ter e em que valor de isso acontece. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, para identificar os pontos onde o volume atinge seu valor máximo.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função V(x) = x(10 - 2x)(16 - 2x) para facilitar os cálculos. Vamos multiplicar os termos:
(10 - 2x)(16 - 2x) = 160 - 20x - 32x + 4x^2 = 160 - 52x + 4x^2
Vamos multiplicar V(x) = x(160 - 52x + 4x^2) = 160x - 52x^2 + 4x^3 por V(x) = 4x^3 - 52x^2 + 160x :
Agora, multiplicamos esse resultado por :
Então, a função simplificada fica:

Passo 3

Para encontrar o valor máximo do volume, precisamos encontrar os pontos críticos da função V'(x) = dVdx = 12x^2 - 104x + 160 . Esses pontos ocorrem onde a derivada de em relação a é igual a zero ou não existe. Vamos calcular a primeira derivada :

Passo 4

Agora, precisamos resolver a equação 12x^2 - 104x + 160 = 0 para encontrar os valores de 3x^2 - 26x + 40 = 0 que podem entregar o volume máximo:
Podemos simplificar essa equação dividindo todos os termos por 4:

Passo 5

Vamos resolver a equação quadrática x = -b pm raizb^2 - 4ac2a usando a fórmula de Bhaskara:
x = 26 pm raiz(-26)^2 - 4 cdot 3 cdot 402 cdot 3 = 26 pm raiz676 - 4806 = 26 pm raiz1966
Onde raiz196 = 14 , x = 26 pm 146 , e x1 = 26 + 146 = 406 = 203 approx 6,67 . Substituindo esses valores:
x2 = 26 - 146 = 126 = 2
Então:
Isso nos dá duas soluções:

Passo 6

Vamos analisar os valores encontrados:
  • : Porém, lembrando que a restrição do problema é . Portanto, está fora do intervalo válido e descartamos essa solução.
  • : Esse valor está dentro do intervalo , então vamos utilizá-lo.

Passo 7

Agora, vamos verificar se V''(x) = d^2Vdx^2 = 24x - 104 realmente corresponde a um ponto de máximo. Para isso, podemos usar o teste da segunda derivada ou analisar o comportamento da derivada primeira em torno de V''(2) = 24 cdot 2 - 104 = 48 - 104 = -56 . Vamos calcular a segunda derivada :
Substituindo :
Como , isso indica que a concavidade da função é para baixo nesse ponto, confirmando que é um ponto de máximo.

Passo 8

Finalmente, vamos calcular o maior volume substituindo V(2) = 4(2)^3 - 52(2)^2 + 160(2) = 4 cdot 8 - 52 cdot 4 + 320 = 32 - 208 + 320 = 144 na função :

Resposta

O maior volume possível é de 144 unidades cúbicas e ocorre quando .

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