A funço , define o volume de uma caixa. Qual é o maior volume

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem a função que descreve o volume de uma caixa:
onde . Nosso objetivo aqui é encontrar qual é o maior volume que essa caixa pode ter e em que valor de isso acontece. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, para identificar os pontos onde o volume atinge seu valor máximo.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função para facilitar os cálculos. Vamos multiplicar os termos:
Vamos multiplicar por :
Agora, multiplicamos esse resultado por :
Então, a função simplificada fica:

Passo 3

Para encontrar o valor máximo do volume, precisamos encontrar os pontos críticos da função . Esses pontos ocorrem onde a derivada de em relação a é igual a zero ou não existe. Vamos calcular a primeira derivada :

Passo 4

Agora, precisamos resolver a equação para encontrar os valores de que podem entregar o volume máximo:
Podemos simplificar essa equação dividindo todos os termos por 4:

Passo 5

Vamos resolver a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Onde , , e . Substituindo esses valores:
Então:
Isso nos dá duas soluções:

Passo 6

Vamos analisar os valores encontrados:
  • : Porém, lembrando que a restrição do problema é . Portanto, está fora do intervalo válido e descartamos essa solução.
  • : Esse valor está dentro do intervalo , então vamos utilizá-lo.

Passo 7

Agora, vamos verificar se realmente corresponde a um ponto de máximo. Para isso, podemos usar o teste da segunda derivada ou analisar o comportamento da derivada primeira em torno de . Vamos calcular a segunda derivada :
Substituindo :
Como , isso indica que a concavidade da função é para baixo nesse ponto, confirmando que é um ponto de máximo.

Passo 8

Finalmente, vamos calcular o maior volume substituindo na função :

Resposta

O maior volume possível é de 144 unidades cúbicas e ocorre quando .

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Esboce o gráfico de .
Calcule as seguintes integrais:
© ;
(Valor: (a) 1,5 pontos, (b) 1,5 pontos, © 1,5 pontos)
(a)
verouino doval