Calcule as seguintes integrais complexas:
(d) ointgamma xi^2xi-1 d xi, onde gamma é a circunferência centrada em (0,0) e raio 3 com orientação anti-horária
Resposta: 2 pi i^68

Passo 1

Beleza, vamos ver qual é a parada aqui. Temos que calcular a integral complexa ointgamma xi^2xi - 1 d xi, onde gamma é uma circunferência centrada na origem com raio 3, e ela está sendo percorrida no sentido anti-horário. A gente vai usar o Teorema dos Resíduos, que é uma ferramenta poderosa para resolver integrais no plano complexo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os pontos onde a função xi^2xi - 1 pode ter problemas, ou seja, onde ela não está bem definida. Isso acontece quando o denominador é zero: xi - 1 = 0 Rightarrow xi = 1. Então, temos um ponto singular em xi = 1.

Passo 3

Agora, precisamos verificar se esse ponto singular está dentro da nossa circunferência gamma. Como o raio é 3 e o centro é na origem (0,0), qualquer ponto com módulo menor que 3 está dentro. O ponto xi = 1 tem módulo 1, que é menor que 3. Então, ele está dentro da circunferência.

Passo 4

Como temos um único ponto singular dentro de gamma, vamos calcular o resíduo dessa função em xi = 1. Para funções do tipo f(xi)xi - a, o resíduo é simplesmente f(a). Aqui, f(xi) = xi^2, ent��o o resíduo em xi = 1 é 1^2 = 1.

Passo 5

Com o resíduo em mãos, aplicamos o Teorema dos Resíduos, que diz que a integral ao redor de gamma é 2pi i vezes a soma dos resíduos dentro da curva. Como temos apenas um resíduo igual a 1, a integral fica:
ointgamma xi^2xi - 1 d xi = 2 pi i times 1 = 2pi i

Resposta

2 pi i

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