Calcule as seguintes integrais complexas:
(d)
, onde
é a circunferência centrada em
e raio 3 com orientação anti-horária
Resposta:
(d)
Resposta:
Passo 1
Beleza, vamos ver qual é a parada aqui. Temos que calcular a integral complexa
, onde
é uma circunferência centrada na origem com raio 3, e ela está sendo percorrida no sentido anti-horário. A gente vai usar o Teorema dos Resíduos, que é uma ferramenta poderosa para resolver integrais no plano complexo.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os pontos onde a função
pode ter problemas, ou seja, onde ela não está bem definida. Isso acontece quando o denominador é zero:
. Então, temos um ponto singular em
.
Passo 3
Agora, precisamos verificar se esse ponto singular está dentro da nossa circunferência
. Como o raio é 3 e o centro é na origem (0,0), qualquer ponto com módulo menor que 3 está dentro. O ponto
tem módulo 1, que é menor que 3. Então, ele está dentro da circunferência.
Passo 4
Como temos um único ponto singular dentro de
, vamos calcular o resíduo dessa função em
. Para funções do tipo
, o resíduo é simplesmente
. Aqui,
, ent��o o resíduo em
é
.
Passo 5
Com o resíduo em mãos, aplicamos o Teorema dos Resíduos, que diz que a integral ao redor de
é
vezes a soma dos resíduos dentro da curva. Como temos apenas um resíduo igual a 1, a integral fica: