Sejam A, B, C, A', B' conjuntos. Mostre que A ⊆ A' , B ⊆ B', então A ∪ B ⊂ A' ∪ B'.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem alguns conjuntos aí: . A questão pede para mostrar que se e , então . Isso tá na área de Teoria dos Conjuntos, usando conceitos de subconjuntos e união de conjuntos. Vamos precisar entender o que significa um conjunto ser subconjunto de outro e como funciona a união desses conjuntos para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa e . Isso quer dizer que todo elemento de está também em , e todo elemento de está em .

Passo 3

Agora, queremos mostrar que . A união de dois conjuntos, , contém todos os elementos que estão em ou em (ou em ambos).

Passo 4

Para provar que , vamos usar a definição de subconjunto: todo elemento de deve estar também em .

Passo 5

Então, pegamos um elemento qualquer que está em . Isso significa que está em ou em .

Passo 6

Se está em , e sabemos que , então também está em . Como , então está em .

Passo 7

Da mesma forma, se está em , e , então está em . E novamente, , então está em .

Passo 8

Como fizemos o raciocínio para um elemento qualquer de e mostramos que ele está em , concluímos que todo elemento de está em .

Resposta

Portanto, mostramos que .

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