Sejam conjuntos. Mostre que se, e somente se, .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que fala sobre conjuntos. A gente precisa mostrar que a interseção dos conjuntos e é igual a ( ) se, e somente se, todo elemento de está dentro de ( ). Vamos precisar entender o que significa interseção de conjuntos e o que é subconjunto para chegar na resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a interseção de dois conjuntos. A interseção é o conjunto formado pelos elementos que estão em ambos os conjuntos e . Ou seja:

Passo 3

Agora, vamos entender o que significa . Isso quer dizer que todo elemento de está também em . Formalmente:
Isso significa que não existe nenhum elemento em que não esteja em .

Passo 4

Vamos começar provando a primeira parte: Se , então .
Se , todo elemento de está na interseção de e , ou seja, todo tamb��m está em . Assim, diretamente pela definição de subconjunto, .

Passo 5

Agora, vamos provar a contrapartida: Se , então .
Se todo elemento de está em , então a interseção vai pegar todos os elementos de que também estão em . Mas como está totalmente dentro de , isso significa que vai conter exatamente todos os elementos de . Portanto, .

Resposta

Concluímos que se, e somente se, .

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Calcule as seguintes integrais complexas:
(e) , onde é a circunferência centrada em e raio 3 , com orientação anti-horária
Resposta:
Sejam conjuntos. Mostre que