Sejam
conjuntos. Mostre que
se, e somente se,
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que fala sobre conjuntos. A gente precisa mostrar que a interseção dos conjuntos
e
é igual a
(
) se, e somente se, todo elemento de
está dentro de
(
). Vamos precisar entender o que significa interseção de conjuntos e o que é subconjunto para chegar na resposta.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a interseção de dois conjuntos. A interseção
é o conjunto formado pelos elementos que estão em ambos os conjuntos
e
. Ou seja:
Passo 3
Agora, vamos entender o que significa
. Isso quer dizer que todo elemento de
está também em
. Formalmente:
Isso significa que não existe nenhum elemento em
que não esteja em
.
Passo 4
Vamos começar provando a primeira parte: Se
, então
.
Se
, todo elemento de
está na interseção de
e
, ou seja, todo
tamb��m está em
. Assim, diretamente pela definição de subconjunto,
.
Passo 5
Agora, vamos provar a contrapartida: Se
, então
.
Se todo elemento de
está em
, então a interseção
vai pegar todos os elementos de
que também estão em
. Mas como
está totalmente dentro de
, isso significa que
vai conter exatamente todos os elementos de
. Portanto,
.
Resposta
Concluímos que
se, e somente se,
.
Exercícios relacionados
Calcule as seguintes integrais complexas:
(e) , onde
é a circunferência centrada em
e raio 3 , com orientação anti-horária
Resposta:
(e)
Resposta:
Sejam
conjuntos. Mostre que