Calcule as seguintes integrais complexas:
(e)
, onde
é a circunferência centrada em
e raio 3 , com orientação anti-horária
Resposta:
(e)
Resposta:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral complexa:
Aqui,
é uma circunferência centrada em
com raio 3, orientada no sentido anti-horário. O conteúdo que vamos usar para resolver isso é a Teorema dos Resíduos, que nos ajuda a calcular integrais de funções complexas ao redor de contornos fechados.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os pólos da função que estamos integrando. Os pólos são os valores de
que fazem o denominador zerar, ou seja, onde
. Então, temos dois pólos:
Passo 3
Agora, precisamos verificar quais desses pólos estão dentro da circunferência
. A circunferência está centrada em
com raio 3. Vamos calcular a distância de cada pólo ao centro:
Para
:
Para
:
Como o raio é 3, somente
está dentro da circunferência
.
Passo 4
Agora que sabemos que apenas
está dentro de
, vamos calcular o resíduo da função nesse ponto. A função pode ser escrita como:
Para calcular o resíduo em
, usamos:
Substituindo
:
Multiplicando os termos no numerador:
Então:
Passo 5
Finalmente, aplicamos o Teorema dos Resíduos, que diz que a integral é igual a
vezes a soma dos resíduos dentro da curva
. Como temos apenas um resíduo:
Resposta
Exercícios relacionados
Sejam
conjuntos. Mostre que
se, e somente se,
.
Sejam
conjuntos. Mostre que
Calcule as seguintes integrais complexas:
(f) , onde
é a circunferência centrada em 0 e raio 2 , com orientação anti-horária;
Resposta:
(f)
Resposta: