Calcule as seguintes integrais complexas:
(e) ointgamma xi(xi-3)(xi+i)(xi-8) d xi, onde gamma é a circunferência centrada em 2+i e raio 3 , com orientação anti-horária
Resposta: 2 pi i(-1+3 i-8-i) ; 69

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral complexa:
ointgamma xi(xi - 3)(xi + i)(xi - 8) , dxi
Aqui, é uma circunferência centrada em com raio 3, orientada no sentido anti-horário. O conteúdo que vamos usar para resolver isso é a Teorema dos Resíduos, que nos ajuda a calcular integrais de funções complexas ao redor de contornos fechados.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os pólos da função que estamos integrando. Os pólos são os valores de xi = -i e xi = 8 que fazem o denominador zerar, ou seja, onde . Então, temos dois pólos:

Passo 3

Agora, precisamos verificar quais desses pólos estão dentro da circunferência | -i - (2 + i) | = | -2 - 2i | = raiz(-2)^2 + (-2)^2 = raiz4 + 4 = raiz8 approx 2.828 . A circunferência está centrada em | 8 - (2 + i) | = | 6 - i | = raiz6^2 + (-1)^2 = raiz36 + 1 = raiz37 approx 6.083 com raio 3. Vamos calcular a distância de cada pólo ao centro:
Para :
Para :
Como o raio é 3, somente está dentro da circunferência .

Passo 4

Agora que sabemos que apenas f(xi) = xi(xi - 3)(xi + i)(xi - 8) está dentro de Res(f, -i) = limxi to -i (xi + i) f(xi) = limxi to -i xi(xi - 3)xi - 8 , vamos calcular o resíduo da função nesse ponto. A função pode ser escrita como:
Res(f, -i) = (-i)(-i - 3)-i - 8 = (-i)(-3 - i)-8 - i
Para calcular o resíduo em (-i)(-3 - i) = 3i + i^2 = 3i - 1 , usamos:
Res(f, -i) = 3i - 1-8 - i
Substituindo :
Multiplicando os termos no numerador:
Então:

Passo 5

Finalmente, aplicamos o Teorema dos Resíduos, que diz que a integral é igual a ointgamma f(xi) , dxi = 2pi i cdot 3i - 1-8 - i vezes a soma dos resíduos dentro da curva . Como temos apenas um resíduo:

Resposta

ointgamma xi(xi - 3)(xi + i)(xi - 8) , dxi = 2pi i ( 3i - 1-8 - i )

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