Calcule as seguintes integrais complexas:
(e) , onde é a circunferência centrada em e raio 3 , com orientação anti-horária
Resposta:

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral complexa:
Aqui, é uma circunferência centrada em com raio 3, orientada no sentido anti-horário. O conteúdo que vamos usar para resolver isso é a Teorema dos Resíduos, que nos ajuda a calcular integrais de funções complexas ao redor de contornos fechados.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os pólos da função que estamos integrando. Os pólos são os valores de que fazem o denominador zerar, ou seja, onde . Então, temos dois pólos:

Passo 3

Agora, precisamos verificar quais desses pólos estão dentro da circunferência . A circunferência está centrada em com raio 3. Vamos calcular a distância de cada pólo ao centro:
Para :
Para :
Como o raio é 3, somente está dentro da circunferência .

Passo 4

Agora que sabemos que apenas está dentro de , vamos calcular o resíduo da função nesse ponto. A função pode ser escrita como:
Para calcular o resíduo em , usamos:
Substituindo :
Multiplicando os termos no numerador:
Então:

Passo 5

Finalmente, aplicamos o Teorema dos Resíduos, que diz que a integral é igual a vezes a soma dos resíduos dentro da curva . Como temos apenas um resíduo:

Resposta

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Sejam conjuntos. Mostre que se, e somente se, .
Sejam conjuntos. Mostre que
Calcule as seguintes integrais complexas:
(f) , onde é a circunferência centrada em 0 e raio 2 , com orientação anti-horária;
Resposta: