Calcule as seguintes integrais complexas:
©
, onde
é o retângulo com vértices
com orientação anti-horária;;
©
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral de contorno:
onde
é um retângulo com vértices em
, percorrido no sentido anti-horário.
Matéria envolvida: Cálculo de integrais complexas, especificamente integrais de contorno no plano complexo.
O que vamos precisar:
- Compreender o que é uma integral de contorno.
- Saber como manipular a parte conjugada
em integrais complexas. - Aplicar o teorema de Cauchy ou outras técnicas de integração adequadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma integral de contorno. Em termos simples, é a soma ao longo de um caminho (neste caso, o retângulo
) de uma função complexa multiplicada por um pequeno elemento de deslocamento
.
Agora, observamos que a função que estamos integrando é
. O problema aqui é a presença de
, que é a parte conjugada de
. Isso complica um pouco as coisas porque muitas técnicas de integração complexa funcionam melhor com funções que são holomorfas (ou seja, analíticas) no domínio considerado, e a conjugação de
pode quebrar essa condição.
Passo 3
Para lidar com
, precisamos lembrar que em termos de
, temos
. Mas também podemos expressar
em termos de
quando estamos integrando ao longo de uma curva fechada.
Ao integrar uma função que inclui em termos de
.
Passo 4
Vamos parametrizar o retângulo
. O retângulo tem lados paralelos aos eixos reais e imaginários, e seus vértices estão em
. Podemos dividir o caminho
em quatro segmentos:
- De
para (parte inferior). - De
para (lado direito). - De
para (parte superior). - De
para (lado esquerdo).
Em cada segmento, podemos expressar
como uma função linear de
, onde
varia de 0 a 1.
Passo 5
No entanto, calcular diretamente a integral em cada segmento pode ser trabalhoso. Em vez disso, vamos tentar simplificar a expressão
.
Sabemos que
quando
. Então, podemos reescrever a integral como:
Mas ainda assim, isso não simplifica muito as coisas. Outra abordagem é notar que, ao integrar sobre um contorno fechado e relativamente simples, podemos usar propriedades de simetria ou fazer uma análise direta.
Passo 6
Vamos considerar que, em nosso contorno
,
e
se comportam de maneira simétrica em relação aos eixos reais e imaginários. Além disso, como o contorno é fechado e está centrado em zero, muitas partes simétricas podem se cancelar.
No entanto, para avançar, vamos usar a definição integral e a parametrização do retângulo.
Passo 7
Vamos parametrizar um dos lados, por exemplo, de
para
. Nessa parte, a coordenada imaginária é constante (
), e a coordenada real varia de
a
. Então, podemos escrever:
Então, a integral sobre esse segmento seria:
Repetimos esse processo para os outros três lados do retângulo e somamos todas as integrais.
Passo 8
Ao somar as integrais de todos os quatro lados, podemos notar que os termos com
se cancelam devido à simetria do retângulo e da função. O que resta é a soma das integrais das partes reais.
Além disso, como a função
não possui singularidades dentro do contorno
(o único ponto onde o denominador é zero seria
, que está fora do retângulo de vértices
), podemos concluir que a integral ao longo de um contorno fechado que não envolve singularidades é zero, de acordo com o teorema de Cauchy.