Calcule as seguintes integrais complexas:
© ointgamma barz8+z d z, onde gamma é o retângulo com vértices pm 3 pm i com orientação anti-horária;; ^67

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral de contorno:
ointgamma z8 + z , dz
onde é um retângulo com vértices em , percorrido no sentido anti-horário.
Matéria envolvida: Cálculo de integrais complexas, especificamente integrais de contorno no plano complexo.
O que vamos precisar:
  • Compreender o que é uma integral de contorno.
  • Saber como manipular a parte conjugada em integrais complexas.
  • Aplicar o teorema de Cauchy ou outras técnicas de integração adequadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma integral de contorno. Em termos simples, é a soma ao longo de um caminho (neste caso, o retângulo ) de uma função complexa multiplicada por um pequeno elemento de deslocamento .
Agora, observamos que a função que estamos integrando é . O problema aqui é a presença de , que é a parte conjugada de . Isso complica um pouco as coisas porque muitas técnicas de integração complexa funcionam melhor com funções que são holomorfas (ou seja, analíticas) no domínio considerado, e a conjugação de pode quebrar essa condição.

Passo 3

Para lidar com , precisamos lembrar que em termos de , temos . Mas também podemos expressar em termos de quando estamos integrando ao longo de uma curva fechada.
Ao integrar uma função que inclui em termos de .

Passo 4

Vamos parametrizar o retângulo . O retângulo tem lados paralelos aos eixos reais e imaginários, e seus vértices estão em . Podemos dividir o caminho em quatro segmentos:
  1. De para (parte inferior).
  2. De para (lado direito).
  3. De para (parte superior).
  4. De para (lado esquerdo).
Em cada segmento, podemos expressar como uma função linear de , onde varia de 0 a 1.

Passo 5

No entanto, calcular diretamente a integral em cada segmento pode ser trabalhoso. Em vez disso, vamos tentar simplificar a expressão ointgamma |z|^2z8 + z , dz = ointgamma |z|^2z(8 + z) , dz .
Sabemos que quando . Então, podemos reescrever a integral como:
Mas ainda assim, isso não simplifica muito as coisas. Outra abordagem é notar que, ao integrar sobre um contorno fechado e relativamente simples, podemos usar propriedades de simetria ou fazer uma análise direta.

Passo 6

Vamos considerar que, em nosso contorno , e se comportam de maneira simétrica em relação aos eixos reais e imaginários. Além disso, como o contorno é fechado e está centrado em zero, muitas partes simétricas podem se cancelar.
No entanto, para avançar, vamos usar a definição integral e a parametrização do retângulo.

Passo 7

Vamos parametrizar um dos lados, por exemplo, de z(t) = t - i, t in [-3, 3] para dz = dt . Nessa parte, a coordenada imaginária é constante ( z = t + i ), e a coordenada real varia de integral-3^3 t + i8 + t - i , dt a . Então, podemos escrever:
Então, a integral sobre esse segmento seria:
Repetimos esse processo para os outros três lados do retângulo e somamos todas as integrais.

Passo 8

Ao somar as integrais de todos os quatro lados, podemos notar que os termos com se cancelam devido à simetria do retângulo e da função. O que resta é a soma das integrais das partes reais.
Além disso, como a função não possui singularidades dentro do contorno (o único ponto onde o denominador é zero seria , que está fora do retângulo de vértices ), podemos concluir que a integral ao longo de um contorno fechado que não envolve singularidades é zero, de acordo com o teorema de Cauchy.

Resposta

ointgamma z8 + z , dz = 0

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