Sejam A, B, C, A', B' conjuntos. Mostre que A ∪ B = B ∪ A

Passo 1

Vamos entender o que o exercício pede: temos os conjuntos e , e precisamos mostrar que . Isso faz parte da Teoria dos Conjuntos, especificamente das propriedades da união. Para resolver, vamos usar a definição de união de conjuntos e verificar se cada lado está contido no outro.

Passo 2

Primeiro, vamos provar que . Isso significa que qualquer elemento que está em também deve estar em .
Passos:
  1. Seja um elemento cualquiera de .
  2. Pela definição de união, está em ou em .
  3. Se está em , então claramente está em .
  4. Se está em , então também está em .
  5. Portanto, está em .
Assim, .

Passo 3

Agora, vamos provar que . Ou seja, qualquer elemento que está em deve estar também em .
Passos:
  1. Seja um elemento cualquiera de .
  2. Pela definição de união, está em ou em .
  3. Se está em , então claramente está em .
  4. Se está em , então também está em .
  5. Portanto, está em .
Assim, .

Resposta

Como mostramos que e , concluímos que .

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