Encontre a função
tal que
(ou explique porque essa função não existe).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente quer encontrar uma função
tal que a parte real dela seja
. Para isso, vamos usar um pouco de cálculo complexo, especificamente as equações de Cauchy-Riemann, que ajudam a relacionar as partes real e imaginária de funções que são diferenciáveis no sentido complexo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que se
, então as equações de Cauchy-Riemann dizem que:
No nosso caso,
. Vamos calcular as derivadas parciais de
.
Passo 3
Calculando as derivadas parciais de
:
Agora, usando as equações de Cauchy-Riemann, temos:
Passo 4
Vamos integrar
em relação a
para encontrar
:
Onde
é uma função que depende apenas de
.
Passo 5
Agora, vamos usar a segunda equação de Cauchy-Riemann para encontrar
. Sabemos que:
Calculando a derivada de
em relação a
:
Igualando às duas expressões de
:
Isso implica que
, então
é uma constante. Vamos chamar essa constante de
.
Passo 6
Portanto, a parte imaginária
é:
Podemos escolher
para simplificar. Então, a função
é:
Resposta
A função que satisfaz
é:
Exercícios relacionados
Encontre as derivadas das seguintes funções:
Considere a série
. Escreva as 5 primeiras somas parciais. Determine se ela converge ou diverge. Justifique.
Calcule as seguintes integrais complexas:
(a) , onde
é a circunferência unitária centrada em
com orientação antihorária
Resposta:
(a)
Resposta: