Encontre a função f tal que Re(f(z)) = x^3 - 3 x y^2 (ou explique porque essa função não existe).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente quer encontrar uma função tal que a parte real dela seja . Para isso, vamos usar um pouco de cálculo complexo, especificamente as equações de Cauchy-Riemann, que ajudam a relacionar as partes real e imaginária de funções que são diferenciáveis no sentido complexo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que se , então as equações de Cauchy-Riemann dizem que:
No nosso caso, . Vamos calcular as derivadas parciais de .

Passo 3

Calculando as derivadas parciais de :
Agora, usando as equações de Cauchy-Riemann, temos:

Passo 4

Vamos integrar em relação a para encontrar :
Onde é uma função que depende apenas de .

Passo 5

Agora, vamos usar a segunda equação de Cauchy-Riemann para encontrar . Sabemos que:
Calculando a derivada de em relação a :
Igualando às duas expressões de :
Isso implica que , então é uma constante. Vamos chamar essa constante de .

Passo 6

Portanto, a parte imaginária é:
Podemos escolher para simplificar. Então, a função é:

Resposta

A função que satisfaz é:

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