Calcule as seguintes integrais complexas:
(a) , onde é a circunferência unitária centrada em com orientação antihorária
Resposta:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral complexa juntos! O exercício pede para calcular a integral de ao longo da circunferência unitária centrada na origem, com orientação anti-horária. Esse tipo de problema está relacionado ao Cálculo de Integrais Complexas, especificamente usando o Teorema de Cauchy. Vamos precisar lembrar como aplicar esse teorema para integrar funções racionais em torno de curvas fechadas no plano complexo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa integrar ao longo de uma circunferência. No plano complexo, integrar uma função ao longo de uma curva significa somar os valores da função multiplicados por um pequeno deslocamento ao longo dessa curva. Aqui, nossa curva é a circunferência unitária , e estamos indo no sentido anti-horário.

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teorema de Cauchy, que é uma ferramenta poderosa para calcular integrais de funções analíticas (que são diferenciáveis em todos os pontos de uma região) ao longo de curvas fechadas. O teorema nos diz que se uma função é analítica dentro e sobre uma curva fechada simples , então:
No entanto, nossa função não é analítica em todo o plano complexo, pois tem uma singularidade no ponto .

Passo 4

Para lidar com essa singularidade, usamos o Teorema de Cauchy para Integrais de Funções Racionais, que nos dá o valor da integral em torno de uma singularidade isolada. Especificamente, se temos:
onde é uma curva que envolve a singularidade , então a integral é igual a vezes o resíduo da função no ponto .

Passo 5

Vamos encontrar o resíduo da função no ponto . O resíduo de uma função em uma singularidade simples é dado pelo coeficiente de na expansão em série de Laurent de ao redor de .
Para em torno de , já temos a forma , então o resíduo é simplesmente 1.

Passo 6

Aplicando o Teorema de Cauchy para Integrais de Funções Racionais, temos:
í

Resposta

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Sejam conjuntos. Mostre que