Calcule as seguintes integrais definidas:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular duas integrais definidas: a primeira é uma integral simples de
, que na verdade é só
. A segunda integral é um pouco mais complicada:
. Para resolver isso, vamos precisar saber sobre integrais definidas, integrais básicas e a técnica de integração por partes.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a integral
. Integrar 1 em relação a
é bem simples. A integral de
é
, porque a derivada de
é 1. Então:
Mas como estamos falando de uma integral definida, precisamos de limites de integração. Como não foram fornecidos, vamos assumir que é de 0 a 1 para facilitar o cálculo:
Passo 3
Agora, vamos resolver a segunda integral:
. Essa integral envolve o produto de uma função exponencial
e uma função trigonométrica
. Para resolver isso, usamos a técnica de integração por partes, que nos ajuda a integrar produtos de funções.
A fórmula de integração por partes é:
Vamos escolher as partes:
Aplicando a fórmula:
Agora, precisamos resolver
. Vamos aplicar integração por partes de novo:
Escolhemos:
Aplicando novamente:
Agora, substituímos isso de volta na equação anterior:
Simplificando:
Agora, somamos
dos dois lados:
Dividindo ambos os lados por 2:
Agora, aplicamos os limites de integração de 0 a
:
Calculando nos limites:
Para
:
Para
:
Subtraindo:
Resposta
A solução das integrais definidas é: