Calcule as seguintes integrais definidas:
integral 11-integral0^pi / 2 e^x cos (x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular duas integrais definidas: a primeira é uma integral simples de , que na verdade é só . A segunda integral é um pouco mais complicada: . Para resolver isso, vamos precisar saber sobre integrais definidas, integrais básicas e a técnica de integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a integral integral 1 , dx = x + C . Integrar 1 em relação a integral0^1 1 , dx = [x]0^1 = 1 - 0 = 1 é bem simples. A integral de é , porque a derivada de é 1. Então:
Mas como estamos falando de uma integral definida, precisamos de limites de integração. Como não foram fornecidos, vamos assumir que é de 0 a 1 para facilitar o cálculo:

Passo 3

Agora, vamos resolver a segunda integral: integral u , dv = uv - integral v , du . Essa integral envolve o produto de uma função exponencial integral e^x cos(x) , dx = e^x sin(x) - integral e^x sin(x) , dx e uma função trigonométrica integral e^x sin(x) , dx = -e^x cos(x) + integral e^x cos(x) , dx . Para resolver isso, usamos a técnica de integração por partes, que nos ajuda a integrar produtos de funções.
A fórmula de integração por partes é:
integral e^x cos(x) , dx = e^x sin(x) - ( -e^x cos(x) + integral e^x cos(x) , dx )
Vamos escolher as partes:
  • integral e^x cos(x) , dx = e^x sin(x) + e^x cos(x) - integral e^x cos(x) , dx 2 integral e^x cos(x) , dx = e^x (sin(x) + cos(x)) integral e^x cos(x) , dx = e^x (sin(x) + cos(x))2 + C
  • integral0^pi / 2 e^x cos(x) , dx = [ e^x (sin(x) + cos(x))2 ]0^pi / 2 e^pi/2 (sin(pi/2) + cos(pi/2))2 = e^pi/2 (1 + 0)2 = e^pi/22 e^0 (sin(0) + cos(0))2 = 1 (0 + 1)2 = 12
Aplicando a fórmula:
e^pi/22 - 12 = e^pi/2 - 12
Agora, precisamos resolver . Vamos aplicar integração por partes de novo:
Escolhemos:
Aplicando novamente:
Agora, substituímos isso de volta na equação anterior:
Simplificando:
Agora, somamos dos dois lados:
Dividindo ambos os lados por 2:
Agora, aplicamos os limites de integração de 0 a :
Calculando nos limites:
Para :
Para :
Subtraindo:

Resposta

A solução das integrais definidas é:
1 - e^pi/2 - 12 = 3 - e^pi/22

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