Seja uma função
derivável até ordem 2 no intervalo
tal que
. Mostre que existe um ponto
satisfazendo: - I
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função
que pode ser diferenciada até a segunda ordem no intervalo
. Sabemos que
. A tarefa é mostrar que existe um ponto
dentro desse intervalo onde a segunda derivada de
,
, é igual a
.
Vamos precisar usar o Teorema de Rolle e um pouco de cálculo diferencial para chegar nessa conclusão.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o Teorema de Rolle. Ele diz que se uma função
é contínua em
, diferenciável em
, e
, então existe pelo menos um ponto
em
onde a derivada primeira
.
No nosso caso, sabemos que
, então podemos aplicar o Teorema de Rolle para garantir que existe pelo menos um
em
onde
.
Passo 3
Agora, vamos considerar a função derivada
. Sabemos que
é diferenciável até a segunda ordem, então
também é diferenciável. Vamos aplicar o Teorema de Rolle novamente, mas agora para a função
.
Para isso, precisamos verificar se
. Sabemos que
, mas não temos a informação direta sobre
. Entretanto, pelo Teorema de Rolle anterior, sabemos que existe
onde
.
Se considerarmos a função
no intervalo
, temos que
e
. Então, podemos aplicar o Teorema de Rolle aqui também, garantindo que existe um ponto
em
onde a segunda derivada
.
Passo 4
Mas precisamos relacionar isso com
. Para isso, vamos usar a Regra de Lagrange para o resto ou o Teorema de Taylor.
Vamos considerar a expansão de Taylor de
em torno de
:
Sabemos que
. Substituindo na equação:
Passo 5
Agora, vamos resolver essa equação para
:
Fatorando
:
Mas sabemos que
(pela condição
):
Simplificando:
Dividindo ambos os lados por
:
Multiplicando por 2:
Mas, pela condição inicial
, substituindo:
Resposta
Portanto, existe pelo menos um ponto
no intervalo
tal que