Seja uma função f derivável até ordem 2 no intervalo [a, b] tal que f(a) = f(b) = -f'(a). Mostre que existe um ponto c in [a, b] satisfazendo: - I
f''(c) = 2 f(a) / (b - a)

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função que pode ser diferenciada até a segunda ordem no intervalo . Sabemos que . A tarefa é mostrar que existe um ponto dentro desse intervalo onde a segunda derivada de , , é igual a .
Vamos precisar usar o Teorema de Rolle e um pouco de cálculo diferencial para chegar nessa conclusão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o Teorema de Rolle. Ele diz que se uma função é contínua em , diferenciável em , e , então existe pelo menos um ponto em onde a derivada primeira .
No nosso caso, sabemos que , então podemos aplicar o Teorema de Rolle para garantir que existe pelo menos um em onde .

Passo 3

Agora, vamos considerar a função derivada . Sabemos que é diferenciável até a segunda ordem, então também é diferenciável. Vamos aplicar o Teorema de Rolle novamente, mas agora para a função .
Para isso, precisamos verificar se . Sabemos que , mas não temos a informação direta sobre . Entretanto, pelo Teorema de Rolle anterior, sabemos que existe onde .
Se considerarmos a função no intervalo , temos que e . Então, podemos aplicar o Teorema de Rolle aqui também, garantindo que existe um ponto em onde a segunda derivada .

Passo 4

Mas precisamos relacionar isso com . Para isso, vamos usar a Regra de Lagrange para o resto ou o Teorema de Taylor.
Vamos considerar a expansão de Taylor de em torno de :
Sabemos que . Substituindo na equação:

Passo 5

Agora, vamos resolver essa equação para :
Fatorando :
Mas sabemos que (pela condição ):
Simplificando:
Dividindo ambos os lados por :
Multiplicando por 2:
Mas, pela condição inicial , substituindo:

Resposta

Portanto, existe pelo menos um ponto no intervalo tal que

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