Calcule os seguintes limites:
2. lim x pm infty x(raizx^2+1-x).

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite . Aqui, estamos lidando com o cálculo de limites no infinito, principalmente envolvendo expressões com raízes quadradas. Para resolver isso, vamos precisar manipular a expressão para simplificar e eliminar a indeterminação que aparece quando cresce muito.

Passo 2

Primeiro, observe que quando tende a infinito positivo ou negativo, se torna muito grande, então se aproxima de . Mas precisamos ser mais precisos. Vamos multiplicar e dividir a expressão dentro do limite por seu conjugado para eliminar a raiz. O conjugado de é .

Passo 3

Multiplicando o numerador e o denominador pelo conjugado, temos:
x(raizx^2+1 - x) times raizx^2+1 + xraizx^2+1 + x = x times (raizx^2+1)^2 - x^2raizx^2+1 + x

Passo 4

Simplificando o numerador:
(raizx^2+1)^2 - x^2 = x^2 + 1 - x^2 = 1
Então, agora temos:
x times 1raizx^2+1 + x

Passo 5

Agora, vamos simplificar a expressão. Dividimos numerador e denominador por x times 1x(raiz1 + 1x^2 + 1) = 1raiz1 + 1x^2 + 1 :

Passo 6

Agora, analisamos o comportamento quando tende a e :
  • Quando : , então . A expressão se torna .
  • Quando : Assim como acima, , então . A expressão também se torna .
No entanto, precisamos considerar o sinal de no denominador original. Para , , então o limite resultante será negativo.

Resposta

limx +infty x(raizx^2+1-x) = 12
limx -infty x(raizx^2+1-x) = -12

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