Calcule as seguintes integrais definidas e interprete graficamente: por que a soma dos resultados nos itens (a) e (b) é igual à área do retângulo de base 2 e altura 4?
(dica: sobreponha os gráficos de x^2 e de raizx e observe o que são as áreas calculadas em cada integral definida)
integral0^4 raizx d x

Passo 1

Beleza, vamos começar! O exercício pede para calcular a integral definida integral0^4 raizx , dx e entender por que a soma dessa integral com outra (provavelmente integral0^4 x^2 , dx) resulta na área de um retângulo com base 2 e altura 4. Estamos na área de cálculo integral, focando em encontrar áreas sob curvas usando integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na integral integral0^4 raizx , dx. Sabemos que raizx pode ser reescrito como x^1/2. A regra de integração para potências de x é essencial aqui.

Passo 3

A regra geral para integrar x^n é:
integral x^n , dx = x^n+1n+1 + C
onde C é a constante de integração. No nosso caso, n = 12.

Passo 4

Aplicando a regra à nossa função:
integral x^1/2 , dx = x^1/2 + 11/2 + 1 + C = x^3/23/2 + C = 23 x^3/2 + C

Passo 5

Como estamos lidando com uma integral definida de 0 a 4, vamos calcular os limites:
[ 23 x^3/2 ]0^4 = 23 (4)^3/2 - 23 (0)^3/2

Passo 6

Calculando cada parte:
  • 4^3/2 = (raiz4)^3 = 2^3 = 8
  • (0)^3/2 = 0
Portanto:
23 times 8 - 23 times 0 = 163 - 0 = 163

Resposta

A integral definida integral0^4 raizx , dx resulta em 163. Quando somamos isso com a integral integral0^4 x^2 , dx, que é 83, obtemos 163 + 83 = 8. Isso mostra que a soma das áreas sob as curvas x^2 e raizx no intervalo de 0 a 4 é igual à área do retângulo com base 2 e altura 4, já que 2 times 4 = 8.

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