Calcule as seguintes integrais definidas e interprete graficamente: por que a soma dos resultados nos itens (a) e (b) é igual à área do retângulo de base 2 e altura 4?
(dica: sobreponha os gráficos de e de e observe o que são as áreas calculadas em cada integral definida)

Passo 1

Beleza, vamos começar! O exercício pede para calcular a integral definida e entender por que a soma dessa integral com outra (provavelmente ) resulta na área de um retângulo com base 2 e altura 4. Estamos na área de cálculo integral, focando em encontrar áreas sob curvas usando integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na integral . Sabemos que pode ser reescrito como . A regra de integração para potências de é essencial aqui.

Passo 3

A regra geral para integrar é:
onde é a constante de integração. No nosso caso, .

Passo 4

Aplicando a regra à nossa função:

Passo 5

Como estamos lidando com uma integral definida de 0 a 4, vamos calcular os limites:

Passo 6

Calculando cada parte:
Portanto:

Resposta

A integral definida resulta em . Quando somamos isso com a integral , que é , obtemos . Isso mostra que a soma das áreas sob as curvas e no intervalo de 0 a 4 é igual à área do retângulo com base 2 e altura 4, já que .

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