Calcule as seguintes integrais definidas e interprete graficamente: por que a soma dos resultados nos itens (a) e (b) é igual à área do retângulo de base 2 e altura 4?
(dica: sobreponha os gráficos de
e de
e observe o que são as áreas calculadas em cada integral definida)
(dica: sobreponha os gráficos de
Passo 1
Beleza, vamos começar! O exercício pede para calcular a integral definida
e entender por que a soma dessa integral com outra (provavelmente
) resulta na área de um retângulo com base 2 e altura 4. Estamos na área de cálculo integral, focando em encontrar áreas sob curvas usando integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na integral
. Sabemos que
pode ser reescrito como
. A regra de integração para potências de
é essencial aqui.
Passo 3
A regra geral para integrar
é:
onde
é a constante de integração. No nosso caso,
.
Passo 4
Aplicando a regra à nossa função:
Passo 5
Como estamos lidando com uma integral definida de 0 a 4, vamos calcular os limites:
Passo 6
Calculando cada parte:
Portanto:
Resposta
A integral definida
resulta em
. Quando somamos isso com a integral
, que é
, obtemos
. Isso mostra que a soma das áreas sob as curvas
e
no intervalo de 0 a 4 é igual à área do retângulo com base 2 e altura 4, já que
.
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e observe o que são as áreas calculadas em cada integral definida)
(dica: sobreponha os gráficos de
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