Utilize frações parciais (ou outro método de integração, se possível) para integrar as funções racionais abaixo:

Passo 1

Vamos integrar a função . Aqui, estamos lidando com uma função racional, que é o quociente de dois polinômios. Para resolver essa integral, vamos usar a divisão polinomial para simplificar a fração antes de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos dividir por . Isso nos ajudará a reescrever a fração de uma forma mais fácil de integrar. A ideia é encontrar um polinômio e um resto tal que:

Passo 3

Vamos fazer a divisão:
  1. Dividimos por , o que dá .
  2. Multiplicamos por para obter .
  3. Subtraímos isso de :
  1. Agora, dividimos por , o que dá .
  2. Multiplicamos por para obter .
  3. Subtraímos isso de :
Portanto, a divisão resulta em:

Passo 4

Agora, reescrevemos a integral usando o resultado da divisão:

Passo 5

Vamos integrar cada termo separadamente:

Passo 6

Somando todas as integrais, obtemos:

Resposta

A integral é:

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Ainda utilizando substituição de variáveis, calcule as seguintes integrais definidas:
Calcule as seguintes integrais definidas e interprete graficamente: por que a soma dos resultados nos itens (a) e (b) é igual à área do retângulo de base 2 e altura 4?
(dica: sobreponha os gráficos de e de e observe o que são as áreas calculadas em cada integral definida)
Utilize frações parciais (ou outro método de integração, se possível) para integrar as funções racionais abaixo:
Calcule as seguintes integrais definidas e interprete graficamente: por que a soma dos resultados nos itens (a) e (b) é igual à área do retângulo de base 2 e altura 4?
(dica: sobreponha os gráficos de e de e observe o que são as áreas calculadas em cada integral definida)