Utilize frações parciais (ou outro método de integração, se possível) para integrar as funções racionais abaixo: integral x^2x+1 d x

Passo 1

Vamos integrar a função . Aqui, estamos lidando com uma função racional, que é o quociente de dois polinômios. Para resolver essa integral, vamos usar a divisão polinomial para simplificar a fração antes de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos dividir x^2 = (x + 1) cdot Q(x) + R(x) por . Isso nos ajudará a reescrever a fração de uma forma mais fácil de integrar. A ideia é encontrar um polinômio e um resto tal que:

Passo 3

Vamos fazer a divisão:
  1. Dividimos x^2 - (x^2 + x) = -x por -x - (-x - 1) = 1 , o que dá x^2x + 1 = x - 1 + 1x + 1 .
  2. Multiplicamos por para obter .
  3. Subtraímos isso de :
  1. Agora, dividimos por , o que dá .
  2. Multiplicamos por para obter .
  3. Subtraímos isso de :
Portanto, a divisão resulta em:

Passo 4

Agora, reescrevemos a integral usando o resultado da divisão:
integral x^2x + 1 dx = integral (x - 1) dx + integral 1x + 1 dx

Passo 5

Vamos integrar cada termo separadamente:

Passo 6

Somando todas as integrais, obtemos:
x^22 - x + ln|x + 1| + C

Resposta

A integral é:
x^22 - x + ln|x + 1| + C

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