Utilize frações parciais (ou outro método de integração, se possível) para integrar as funções racionais abaixo:
Passo 1
Vamos integrar a função
. Aqui, estamos lidando com uma função racional, que é o quociente de dois polinômios. Para resolver essa integral, vamos usar a divisão polinomial para simplificar a fração antes de integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos dividir
por
. Isso nos ajudará a reescrever a fração de uma forma mais fácil de integrar. A ideia é encontrar um polinômio
e um resto
tal que:
Passo 3
Vamos fazer a divisão:
- Dividimos
por , o que dá . - Multiplicamos
por para obter . - Subtraímos isso de
:
- Agora, dividimos
por , o que dá . - Multiplicamos
por para obter . - Subtraímos isso de
:
Portanto, a divisão resulta em:
Passo 4
Agora, reescrevemos a integral usando o resultado da divisão:
Passo 5
Vamos integrar cada termo separadamente:
Passo 6
Somando todas as integrais, obtemos:
Resposta
A integral é:
Exercícios relacionados
Ainda utilizando substituição de variáveis, calcule as seguintes integrais definidas:
Calcule as seguintes integrais definidas e interprete graficamente: por que a soma dos resultados nos itens (a) e (b) é igual à área do retângulo de base 2 e altura 4?
(dica: sobreponha os gráficos de e de
e observe o que são as áreas calculadas em cada integral definida)
(dica: sobreponha os gráficos de
Utilize frações parciais (ou outro método de integração, se possível) para integrar as funções racionais abaixo:
Calcule as seguintes integrais definidas e interprete graficamente: por que a soma dos resultados nos itens (a) e (b) é igual à área do retângulo de base 2 e altura 4?
(dica: sobreponha os gráficos de e de
e observe o que são as áreas calculadas em cada integral definida)
(dica: sobreponha os gráficos de