Utilize frações parciais (ou outro método de integração, se possível) para integrar as funções racionais abaixo:
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem que resolver a integral de uma função racional:
Isso significa que precisamos usar técnicas de integração que funcionam com frações onde o numerador e o denominador são polinômios. Uma das maneiras mais comuns de resolver isso é usando frações parciais, mas também podemos simplificar antes de aplicar qualquer método. Vamos ver o que precisa para resolver:
- Conhecimentos necessários: Entender de frações parciais, simplificação de expressões algébricas e integração básica.
- O que vamos precisar: Fatorar o denominador e talvez simplificar a fração antes de integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada no denominador da nossa fração:
. A gente pode fatorar isso pra facilitar. Vamos fatorar por
:
Agora, nossa integral fica:
Passo 3
Olha só, dá pra simplificar essa expressão! O
do numerador e o
do denominador se cancelam:
Então, a integral agora é bem mais fácil:
Passo 4
Agora, vamos integrar
. A gente sabe que a integral de
é
, onde
é a constante de integração. Aqui,
, então:
Resposta
A integral de
é:
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Utilize frações parciais (ou outro método de integração, se possível) para integrar as funções racionais abaixo:
Ainda utilizando substituição de variáveis, calcule as seguintes integrais definidas:
Calcule as seguintes integrais definidas e interprete graficamente: por que a soma dos resultados nos itens (a) e (b) é igual à área do retângulo de base 2 e altura 4?
(dica: sobreponha os gráficos de e de
e observe o que são as áreas calculadas em cada integral definida)
(dica: sobreponha os gráficos de
Calcule as seguintes integrais definidas e interprete graficamente: por que a soma dos resultados nos itens (a) e (b) é igual à área do retângulo de base 1 e altura 3 ?
(dica: sobreponha os gráficos de e de
e observe o que são as áreas calculadas em cada integral definida)
(dica: sobreponha os gráficos de