Utilize frações parciais (ou outro método de integração, se possível) para integrar as funções racionais abaixo:

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem que resolver a integral de uma função racional:
Isso significa que precisamos usar técnicas de integração que funcionam com frações onde o numerador e o denominador são polinômios. Uma das maneiras mais comuns de resolver isso é usando frações parciais, mas também podemos simplificar antes de aplicar qualquer método. Vamos ver o que precisa para resolver:
  • Conhecimentos necessários: Entender de frações parciais, simplificação de expressões algébricas e integração básica.
  • O que vamos precisar: Fatorar o denominador e talvez simplificar a fração antes de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada no denominador da nossa fração: . A gente pode fatorar isso pra facilitar. Vamos fatorar por :
Agora, nossa integral fica:

Passo 3

Olha só, dá pra simplificar essa expressão! O do numerador e o do denominador se cancelam:
Então, a integral agora é bem mais fácil:

Passo 4

Agora, vamos integrar . A gente sabe que a integral de é , onde é a constante de integração. Aqui, , então:

Resposta

A integral de é:

Exercícios relacionados

Utilize frações parciais (ou outro método de integração, se possível) para integrar as funções racionais abaixo:
Ainda utilizando substituição de variáveis, calcule as seguintes integrais definidas:
Calcule as seguintes integrais definidas e interprete graficamente: por que a soma dos resultados nos itens (a) e (b) é igual à área do retângulo de base 2 e altura 4?
(dica: sobreponha os gráficos de e de e observe o que são as áreas calculadas em cada integral definida)
Calcule as seguintes integrais definidas e interprete graficamente: por que a soma dos resultados nos itens (a) e (b) é igual à área do retângulo de base 1 e altura 3 ?
(dica: sobreponha os gráficos de e de e observe o que são as áreas calculadas em cada integral definida)