Utilize frações parciais (ou outro método de integração, se possível) para integrar as funções racionais abaixo: integral 1(x-a)(x-b) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral 1(x-a)(x-b) d x. Esse exercício pertence à matéria de Cálculo, mais especificamente ao estudo de integração de funções racionais usando frações parciais. Para resolver isso, vamos precisar decompor a fração em partes mais simples que a gente sabe integrar facilmente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são frações parciais. Quando temos uma fração racional, que é o caso aqui, podemos quebrá-la em uma soma de frações mais simples. A ideia é encontrar constantes que nos ajudem a simplificar a integração.

Passo 3

Então, começamos escrevendo:
1(x-a)(x-b) = Ax-a + Bx-b
Aqui, A e B são constantes que vamos determinar.

Passo 4

Agora, vamos eliminar os denominadores multiplicando ambos os lados por (x-a)(x-b):
1 = A(x - b) + B(x - a)
Isso nos dá uma equação que precisamos resolver para encontrar A e B.

Passo 5

Para encontrar A e B, vamos escolher valores específicos de x que simplificam a equação. Por exemplo:
  • Se x = a, temos:
    1 = A(a - b) + B(a - a) Rightarrow 1 = A(a - b)
    Então,
    A = 1a - b
  • Se x = b, temos:
    1 = A(b - b) + B(b - a) Rightarrow 1 = B(b - a)
    Então,
    B = 1b - a = -1a - b

Passo 6

Agora que temos A e B, podemos escrever a fração original de volta:
1(x-a)(x-b) = 1a - b cdot 1x - a - 1a - b cdot 1x - b

Passo 7

Pronto para integrar! Vamos integrar cada termo separadamente:
integral 1(x-a)(x-b) d x = 1a - b integral 1x - a d x - 1a - b integral 1x - b d x

Passo 8

Integrando cada termo, sabemos que:
integral 1x - a d x = ln|x - a| + C integral 1x - b d x = ln|x - b| + C
Então,
1a - b ln|x - a| - 1a - b ln|x - b| + C

Resposta

A integral é igual a:
1a - b ln|x - ax - b| + C

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