Utilize frações parciais (ou outro método de integração, se possível) para integrar as funções racionais abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício pertence à matéria de Cálculo, mais especificamente ao estudo de integração de funções racionais usando frações parciais. Para resolver isso, vamos precisar decompor a fração em partes mais simples que a gente sabe integrar facilmente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são frações parciais. Quando temos uma fração racional, que é o caso aqui, podemos quebrá-la em uma soma de frações mais simples. A ideia é encontrar constantes que nos ajudem a simplificar a integração.

Passo 3

Então, começamos escrevendo:
Aqui, e são constantes que vamos determinar.

Passo 4

Agora, vamos eliminar os denominadores multiplicando ambos os lados por :
Isso nos dá uma equação que precisamos resolver para encontrar e .

Passo 5

Para encontrar e , vamos escolher valores específicos de que simplificam a equação. Por exemplo:
  • Se , temos:
    Então,
  • Se , temos:
    Então,

Passo 6

Agora que temos e , podemos escrever a fração original de volta:

Passo 7

Pronto para integrar! Vamos integrar cada termo separadamente:

Passo 8

Integrando cada termo, sabemos que:
Então,

Resposta

A integral é igual a:

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Calcule as seguintes integrais definidas e interprete graficamente: por que a soma dos resultados nos itens (a) e (b) é igual à área do retângulo de base 1 e altura 3 ?
(dica: sobreponha os gráficos de e de e observe o que são as áreas calculadas em cada integral definida)
Calcule as seguintes integrais definidas e interprete graficamente: por que a soma dos resultados nos itens (a) e (b) é igual à área do retângulo de base 2 e altura 4?
(dica: sobreponha os gráficos de e de e observe o que são as áreas calculadas em cada integral definida)
Calcule as seguintes integrais definidas e interprete graficamente: por que a soma dos resultados nos itens (a) e (b) é igual à área do retângulo de base 1 e altura 3 ?
(dica: sobreponha os gráficos de e de e observe o que são as áreas calculadas em cada integral definida)
Diga se cada equação é verdadeira ou falsa já assumindo que a divisão por zero é indefinida. Justifique sua resposta. (Dica: apenas dois itens são verdadeiros.)