Utilize frações parciais (ou outro método de integração, se possível) para integrar as funções racionais abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Esse exercício pertence à matéria de Cálculo, mais especificamente ao estudo de integração de funções racionais usando frações parciais. Para resolver isso, vamos precisar decompor a fração em partes mais simples que a gente sabe integrar facilmente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são frações parciais. Quando temos uma fração racional, que é o caso aqui, podemos quebrá-la em uma soma de frações mais simples. A ideia é encontrar constantes que nos ajudem a simplificar a integração.
Passo 3
Então, começamos escrevendo:
Aqui,
e
são constantes que vamos determinar.
Passo 4
Agora, vamos eliminar os denominadores multiplicando ambos os lados por
:
Isso nos dá uma equação que precisamos resolver para encontrar
e
.
Passo 5
Para encontrar
e
, vamos escolher valores específicos de
que simplificam a equação. Por exemplo:
-
Se
, temos: Então, -
Se
, temos: Então,
Passo 6
Agora que temos
e
, podemos escrever a fração original de volta:
Passo 7
Pronto para integrar! Vamos integrar cada termo separadamente:
Passo 8
Integrando cada termo, sabemos que:
Então,
Resposta
A integral é igual a: