Calcule as seguintes integrais definidas e interprete graficamente: por que a soma dos resultados nos itens (a) e (b) é igual à área do retângulo de base 1 e altura 3 ?
(dica: sobreponha os gráficos de
e de
e observe o que são as áreas calculadas em cada integral definida)
(dica: sobreponha os gráficos de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral definida
. Estamos lidando com cálculo de integrais, especificamente determinando áreas sob curvas. Para resolver isso, vamos precisar entender como integrar uma função linear e interpretar graficamente o resultado.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a integral
. A integral de uma função
de
a
nos dá a área sob a curva de
entre esses pontos.
A integral de
em relação a
é
, então:
Então,
.
Passo 3
Agora, vamos interpretar isso graficamente. A função
é uma reta que começa em
e sobe até
quando
. A integral
representa a área abaixo dessa reta entre
e
.
Passo 4
O exercício menciona sobrepor os gráficos de
e
. A função
é uma reta mais inclinada, começando em
e chegando em
quando
. A área sob
de
a
é
, que é igual à área sob
de
a
.
A soma dessas áreas
corresponde à área do retângulo com base
e altura
, que é
. Isso acontece porque as áreas sob as duas curvas são complementares e juntas preenchem exatamente o retângulo.
Resposta
A integral
vale
, e a soma das integrais dos itens (a) e (b) iguala à área do retângulo de base 1 e altura 3 porque as áreas sob as curvas
e
complementam-se para preencher o retângulo completamente.
Exercícios relacionados
Utilize frações parciais (ou outro método de integração, se possível) para integrar as funções racionais abaixo:
Calcule as seguintes integrais definidas e interprete graficamente: por que a soma dos resultados nos itens (a) e (b) é igual à área do retângulo de base 1 e altura 3 ?
(dica: sobreponha os gráficos de e de
e observe o que são as áreas calculadas em cada integral definida)
(dica: sobreponha os gráficos de
Diga se cada equação é verdadeira ou falsa já assumindo que a divisão por zero é indefinida. Justifique sua resposta. (Dica: apenas dois itens são verdadeiros.)
Isole
nas expressões a seguir supondo que
sejam constantes.