Calcule as seguintes integrais definidas e interprete graficamente: por que a soma dos resultados nos itens (a) e (b) é igual à área do retângulo de base 1 e altura 3 ?
(dica: sobreponha os gráficos de 3 x e de 13 x e observe o que são as áreas calculadas em cada integral definida)
integral0^3 x3 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral definida . Estamos lidando com cálculo de integrais, especificamente determinando áreas sob curvas. Para resolver isso, vamos precisar entender como integrar uma função linear e interpretar graficamente o resultado.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a integral integral0^3 x3 dx = 13 integral0^3 x , dx . A integral de uma função 13 [ x^22 ]0^3 = 13 ( 3^22 - 0^22 ) = 13 ( 92 ) = 32 de a nos dá a área sob a curva de entre esses pontos.
A integral de em relação a é , então:
Então, .

Passo 3

Agora, vamos interpretar isso graficamente. A função é uma reta que começa em e sobe até quando . A integral representa a área abaixo dessa reta entre e .

Passo 4

O exercício menciona sobrepor os gráficos de e . A função é uma reta mais inclinada, começando em e chegando em quando . A área sob de a é , que é igual à área sob de a .
A soma dessas áreas corresponde à área do retângulo com base e altura , que é . Isso acontece porque as áreas sob as duas curvas são complementares e juntas preenchem exatamente o retângulo.

Resposta

A integral vale , e a soma das integrais dos itens (a) e (b) iguala à área do retângulo de base 1 e altura 3 porque as áreas sob as curvas e complementam-se para preencher o retângulo completamente.

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