Beleza, vamos lá! O problema pede para calcular uma integral dupla sobre a região da função . Isso envolve cálculo de integrais duplas, onde a gente vai integrar primeiro em relação a uma variável e depois na outra. Vamos precisar usar substituição para simplificar a expressão do denominador.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o denominador . Observando, vemos que isso pode ser escrito como . Então, a integral fica:
Isso já facilita nossa vida porque agora temos uma expressão mais simples para trabalhar.
Passo 3
Vamos resolver a integral em partes. Primeiro, integraremos em relação a , mantendo fixo. A integral fica:
Para resolver isso, fazemos uma substituição: seja , então . Quando , , e quando , . A integral se transforma em:
Passo 4
Agora, nossa integral dupla virou uma única integral em relação a :
Vamos separar essa integral em duas partes:
Cada uma dessas integrais pode ser resolvida por partes. A antiderivada de é:
Aplicando isso às duas integrais, obtemos:
Para :
Para :
Passo 5
Agora, vamos calcular esses termos nos limites de integração.
Para (3) arctan(3) - 12 ln(10) - [ (2) arctan(2) - 12 ln(5) ] de 1 a 2: