Calcule as seguintes integrais duplas.
integral duplaR 11+x^2+2 x y+y^2 d A, R=[1,2] times[0,1].

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para calcular uma integral dupla sobre a região da função . Isso envolve cálculo de integrais duplas, onde a gente vai integrar primeiro em relação a uma variável e depois na outra. Vamos precisar usar substituição para simplificar a expressão do denominador.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o denominador integral duplaR 1(x + y)^2 + 1 , dA . Observando, vemos que isso pode ser escrito como . Então, a integral fica:
Isso já facilita nossa vida porque agora temos uma expressão mais simples para trabalhar.

Passo 3

Vamos resolver a integral em partes. Primeiro, integraremos em relação a integral0^1 1(x + y)^2 + 1 , dy , mantendo integralx^x+1 1u^2 + 1 , du = [ arctan(u) ]x^x+1 = arctan(x+1) - arctan(x) fixo. A integral fica:
Para resolver isso, fazemos uma substituição: seja , então . Quando , , e quando , . A integral se transforma em:

Passo 4

Agora, nossa integral dupla virou uma única integral em relação a integral1^2 [ arctan(x+1) - arctan(x) ] , dx :
integral1^2 arctan(x+1) , dx - integral1^2 arctan(x) , dx
Vamos separar essa integral em duas partes:
x arctan(x) - 12 ln(1 + x^2) + C
Cada uma dessas integrais pode ser resolvida por partes. A antiderivada de (x+1) arctan(x+1) - 12 ln(1 + (x+1)^2) |1^2 é:
x arctan(x) - 12 ln(1 + x^2) |1^2
Aplicando isso às duas integrais, obtemos:
Para :
Para :

Passo 5

Agora, vamos calcular esses termos nos limites de integração.
Para (3) arctan(3) - 12 ln(10) - [ (2) arctan(2) - 12 ln(5) ] de 1 a 2:
(2) arctan(2) - 12 ln(5) - [ (1) arctan(1) - 12 ln(2) ]
Para 3 arctan(3) - 2 arctan(2) - arctan(1) + 12 ln(10 times 25) de 1 a 2:
3 arctan(3) - 2 arctan(2) - arctan(1) + 12 ln(4) = 3 arctan(3) - 2 arctan(2) - arctan(1) + ln(2)
Subtraindo os resultados, temos:
Simplificando:

Resposta

A integral dupla vale:
3 arctan(3) - 2 arctan(2) - arctan(1) + ln(2)

Exercícios relacionados

Determine o maior entre os números n1, n2 e n3.
Use o Teste da Integral para verificar a convergência ou não das séries abaixo.
(a) sumn=1^infty 1raizn+2
Expresse l_a em termos da distância D.
Calcule as seguintes integrais duplas.
integral duplaR x y e^x^2-y^2 d A, R=[-1,1] times[0,3].