Use o Teste da Integral para verificar a convergência ou não das séries abaixo.
(a) sumn=1^infty 1raizn+2

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para usar o Teste da Integral e verificar se a série converge ou não. Para isso, vamos precisar entender o que é o Teste da Integral e como aplicá-lo a essa série.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teste da Integral. Ele diz que se temos uma série onde , e é uma função positiva, contínua e decrescente para (algum número natural ), então a série converge se e somente se a integral converge.

Passo 3

No nosso caso, . Vamos considerar a função . Essa função é positiva, contínua e decrescente para todo , então podemos aplicar o Teste da Integral.

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral integral 1raizx+2 , dx = 2raizx+2 + C . Fazendo uma substituição simples, podemos integrar:
limb to infty [2raizb+2 - 2raiz1+2] = limb to infty 2raizb+2 - 2raiz3
Avaliado de 1 até :
Quando tende ao infinito, também tende ao infinito. Portanto, a integral diverge.

Resposta

A série não converge pelo Teste da Integral.

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