Use o Teste da Integral para verificar a convergência ou não das séries abaixo.
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para usar o Teste da Integral e verificar se a série
converge ou não. Para isso, vamos precisar entender o que é o Teste da Integral e como aplicá-lo a essa série.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teste da Integral. Ele diz que se temos uma série
onde
, e
é uma função positiva, contínua e decrescente para
(algum número natural
), então a série converge se e somente se a integral
converge.
Passo 3
No nosso caso,
. Vamos considerar a função
. Essa função é positiva, contínua e decrescente para todo
, então podemos aplicar o Teste da Integral.
Passo 4
Agora, vamos calcular a integral
. Fazendo uma substituição simples, podemos integrar:
Avaliado de 1 até
:
Quando
tende ao infinito,
também tende ao infinito. Portanto, a integral diverge.
Resposta
A série
não converge pelo Teste da Integral.
Exercícios relacionados
Classifique as afirmações abaixo como verdadeira
ou falsa
dando uma demonstração ou um contra-exemplo.
(e) ( ) Se diverge, então
;
(e) ( ) Se
Determine se as séries abaixo convergem ou divergem.
(h)
(h)
Determine o maior entre os números
e
.
Calcule as seguintes integrais duplas.
.