Calcule as seguintes integrais por frações parciais.
(a) integral 12 x^2+21 x+3(x+1)(3 x^2+5 x-1) d x
(b) integral 2 x^2+x+1(x+1)(x^2+9) d x
© integral 6 x^2+8 x-4(x-3)(x^2+6 x+10)
(d) integral x^2+x+5x^2+4 x+10
(e) integral 1x^3+2 x^2+3 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral usando frações parciais. A matéria aqui é sobre integrais que envolvem frações racionais, e a gente vai precisar fatorar o denominador e separar a fração em partes mais simples para integrar facilmente.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador para ver como podemos separar a fração. O denominador é De. Vamos checar se o polinômio quadrático pode ser fatorado. Calculando o discriminante:
Como não é um quadrado perfeito, o polinômio não pode ser fatorado facilmente com números racionais. Então, ele permanece como está.

Passo 3

Agora, vamos expressar a fração original como uma soma de frações parciais. Como temos um fator linear 12x^2 + 21x + 3(x + 1)(3x^2 + 5x - 1) = Ax + 1 + Bx + C3x^2 + 5x - 1 e um fator quadrático irreduzível , a forma será:

Passo 4

Vamos multiplicar ambos os lados da equação por 12x^2 + 21x + 3 = A(3x^2 + 5x - 1) + (Bx + C)(x + 1) para eliminar os denominadores:

Passo 5

Expandindo o lado direito:
A(3x^2 + 5x - 1) = 3A x^2 + 5A x - A
(Bx + C)(x + 1) = Bx^2 + Bx + Cx + C = Bx^2 + (B + C)x + C
Então, somando tudo:
3A x^2 + 5A x - A + Bx^2 + (B + C)x + C = (3A + B)x^2 + (5A + B + C)x + (-A + C)

Passo 6

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
3A + B = 12 &(coeficiente de x^2) 5A + B + C = 21 &(coeficiente de x) -A + C = 3 &(termo constante)

Passo 7

Vamos resolver esse sistema de equações. Da terceira equação:
C = A + 3
Substituindo 5A + B + (A + 3) = 21 Rightarrow 6A + B = 18 na segunda equação:
3A + B = 12 6A + B = 18
Agora temos:
(6A + B) - (3A + B) = 18 - 12 Rightarrow 3A = 6 Rightarrow A = 2
Subtraindo a primeira da segunda:
3 cdot 2 + B = 12 Rightarrow 6 + B = 12 Rightarrow B = 6
Então, C = 2 + 3 = 5 . Substituindo em :
E de :

Passo 8

Agora que encontramos 12x^2 + 21x + 3(x + 1)(3x^2 + 5x - 1) = 2x + 1 + 6x + 53x^2 + 5x - 1 , e , podemos reescrever a fração original:

Passo 9

Vamos integrar cada termo separadamente. Primeiro:
integral 2x + 1 dx = 2 ln|x + 1| + C1
Agora, para a segunda parte ddx(3x^2 + 5x - 1) = 6x + 5 , notamos que o numerador é uma combinação linear da derivada do denominador. Calculando a derivada do denominador:
integral 6x + 53x^2 + 5x - 1 dx = ln|3x^2 + 5x - 1| + C2
Então,

Passo 10

Juntando as integrais:
integral 12x^2 + 21x + 3(x + 1)(3x^2 + 5x - 1) dx = 2 ln|x + 1| + ln|3x^2 + 5x - 1| + C

Resposta

2 ln|x + 1| + ln|3x^2 + 5x - 1| + C

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