Calcule as seguintes integrais por frações parciais.
(a)
(b)
©
(d)
(e)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral usando frações parciais. A matéria aqui é sobre integrais que envolvem frações racionais, e a gente vai precisar fatorar o denominador e separar a fração em partes mais simples para integrar facilmente.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador para ver como podemos separar a fração. O denominador é . Vamos checar se o polinômio quadrático pode ser fatorado. Calculando o discriminante:
Como não é um quadrado perfeito, o polinômio não pode ser fatorado facilmente com números racionais. Então, ele permanece como está.

Passo 3

Agora, vamos expressar a fração original como uma soma de frações parciais. Como temos um fator linear e um fator quadrático irreduzível , a forma será:

Passo 4

Vamos multiplicar ambos os lados da equação por para eliminar os denominadores:

Passo 5

Expandindo o lado direito:
Então, somando tudo:

Passo 6

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:

Passo 7

Vamos resolver esse sistema de equações. Da terceira equação:
Substituindo na segunda equação:
Agora temos:
Subtraindo a primeira da segunda:
Então, . Substituindo em :
E de :

Passo 8

Agora que encontramos , e , podemos reescrever a fração original:

Passo 9

Vamos integrar cada termo separadamente. Primeiro:
Agora, para a segunda parte , notamos que o numerador é uma combinação linear da derivada do denominador. Calculando a derivada do denominador:
Então,

Passo 10

Juntando as integrais:

Resposta

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(a)
(b)
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