Beleza, vamos resolver a integral usando frações parciais. A matéria aqui é sobre integrais que envolvem frações racionais, e a gente vai precisar fatorar o denominador e separar a fração em partes mais simples para integrar facilmente.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o denominador para ver como podemos separar a fração. O denominador é . Vamos checar se o polinômio quadrático pode ser fatorado. Calculando o discriminante:
Como não é um quadrado perfeito, o polinômio não pode ser fatorado facilmente com números racionais. Então, ele permanece como está.
Passo 3
Agora, vamos expressar a fração original como uma soma de frações parciais. Como temos um fator linear e um fator quadrático irreduzível , a forma será:
Passo 4
Vamos multiplicar ambos os lados da equação por para eliminar os denominadores:
Passo 5
Expandindo o lado direito:
Então, somando tudo:
Passo 6
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
Passo 7
Vamos resolver esse sistema de equações. Da terceira equação:
C = A + 3
Substituindo 5A + B + (A + 3) = 21 Rightarrow 6A + B = 18 na segunda equação:
3A + B = 12 6A + B = 18
Agora temos:
(6A + B) - (3A + B) = 18 - 12 Rightarrow 3A = 6 Rightarrow A = 2
Subtraindo a primeira da segunda:
3 cdot 2 + B = 12 Rightarrow 6 + B = 12 Rightarrow B = 6
Vamos integrar cada termo separadamente. Primeiro:
integral 2x + 1 dx = 2 ln|x + 1| + C1
Agora, para a segunda parte ddx(3x^2 + 5x - 1) = 6x + 5 , notamos que o numerador é uma combinação linear da derivada do denominador. Calculando a derivada do denominador: