Beleza, vamos resolver a integral usando frações parciais. A matéria aqui é sobre integrais que envolvem frações racionais, e a gente vai precisar fatorar o denominador e separar a fração em partes mais simples para integrar facilmente.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o denominador para ver como podemos separar a fração. O denominador é . Vamos checar se o polinômio quadrático pode ser fatorado. Calculando o discriminante:
Como não é um quadrado perfeito, o polinômio não pode ser fatorado facilmente com números racionais. Então, ele permanece como está.
Passo 3
Agora, vamos expressar a fração original como uma soma de frações parciais. Como temos um fator linear e um fator quadrático irreduzível , a forma será:
Passo 4
Vamos multiplicar ambos os lados da equação por para eliminar os denominadores:
Passo 5
Expandindo o lado direito:
Então, somando tudo:
Passo 6
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
Passo 7
Vamos resolver esse sistema de equações. Da terceira equação:
Substituindo na segunda equação:
Agora temos:
Subtraindo a primeira da segunda:
Então, . Substituindo em :
E de :
Passo 8
Agora que encontramos , e , podemos reescrever a fração original:
Passo 9
Vamos integrar cada termo separadamente. Primeiro:
Agora, para a segunda parte , notamos que o numerador é uma combinação linear da derivada do denominador. Calculando a derivada do denominador: