Use o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que existe uma raiz da equação dada no intervalo especificado.
(a)
(b)
©
(a)
(b)
©
Passo 1
Então, a gente tem a equação
e precisamos mostrar que tem uma raiz nesse intervalo entre 1 e 2 usando o Teorema do Valor Intermediário. Esse teorema basicamente diz que se uma função é contínua em um intervalo e ela muda de sinal nos extremos desse intervalo, então ela tem pelo menos uma raiz lá dentro. Vamos ver como aplicar isso!
Passo 2
Primeiro, vamos definir nossa função:
. Essa é uma função polinomial, e sabemos que funções polinomiais são contínuas em todo lugar. Então, podemos usar o Teorema do Valor Intermediário aqui.
Passo 3
Agora, vamos calcular o valor da função nos extremos do intervalo:
- Em
: - Em
:
Passo 4
Observamos que:
-
(negativo) -
(positivo)
Então, a função mudou de negativo para positivo ao passar de
para
.
Passo 5
Como
é contínua no intervalo
e passou de negativo para positivo, pelo Teorema do Valor Intermediário, necessariamente existe pelo menos um valor de
entre 1 e 2 tal que
.
Resposta
Existe pelo menos uma raiz da equação
no intervalo
.