Use o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que existe uma raiz da equação dada no intervalo especificado.
(a) x^4 + x - 3 = 0, (1,2)
(b) e^x = 3 - 2 x, (0,1)
© raiz(cubica(x)) = 1 - x, (0, 1)

Passo 1

Então, a gente tem a equação e precisamos mostrar que tem uma raiz nesse intervalo entre 1 e 2 usando o Teorema do Valor Intermediário. Esse teorema basicamente diz que se uma função é contínua em um intervalo e ela muda de sinal nos extremos desse intervalo, então ela tem pelo menos uma raiz lá dentro. Vamos ver como aplicar isso!

Passo 2

Primeiro, vamos definir nossa função: . Essa é uma função polinomial, e sabemos que funções polinomiais são contínuas em todo lugar. Então, podemos usar o Teorema do Valor Intermediário aqui.

Passo 3

Agora, vamos calcular o valor da função nos extremos do intervalo:
  • Em :
  • Em :

Passo 4

Observamos que:
  • (negativo)
  • (positivo)
Então, a função mudou de negativo para positivo ao passar de para .

Passo 5

Como é contínua no intervalo e passou de negativo para positivo, pelo Teorema do Valor Intermediário, necessariamente existe pelo menos um valor de entre 1 e 2 tal que .

Resposta

Existe pelo menos uma raiz da equação no intervalo .

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