Realize as seguintes tarefas:
(a) Calcule os autovalores e discuta sobre a multiplicidade algébrica e geométrica. Res:
(a) Calcule os autovalores e discuta sobre a multiplicidade algébrica e geométrica. Res:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma matriz
e precisa encontrar os autovalores dela. Autovalores são números que mostram como a matriz age em certas direções especiais. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente o cálculo de determinantes e soluções de equações características. Vamos precisar montar a equação característica
e resolver para
.
Passo 2
Primeiro, montamos a matriz
, onde
é a matriz identidade:
Passo 3
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
Passo 4
Expandindo os termos:
Então:
Passo 5
Agora, resolvemos a equação característica:
Isso é uma equação quadrática que podemos resolver usando a fórmula de Bhaskara:
Passo 6
Encontramos que
é a única raiz da equação característica. Isso significa que o único autovalor de
é 2.
Passo 7
Agora, vamos falar sobre a multiplicidade algébrica e multiplicidade geométrica:
- Multiplicidade Algébrica: é o número de vezes que o autovalor aparece como raiz da equação característica. Aqui,
aparece duas vezes, então a multiplicidade algébrica é 2. - Multiplicidade Geométrica: é o número de vetores próprios linearmente independentes associados a esse autovalor. Precisamos verificar a matriz
:
Resolvendo
, vemos que há apenas uma solução não trivial, então a multiplicidade geométrica é 1.
Resposta
Os autovalores são
, com multiplicidade algébrica 2 e multiplicidade geométrica 1.
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(a)
Calcule as seguintes integrais impróprias, caso sejam convergentes: