Realize as seguintes tarefas:
(a) Calcule os autovalores e discuta sobre a multiplicidade algébrica e geométrica. Res:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma matriz e precisa encontrar os autovalores dela. Autovalores são números que mostram como a matriz age em certas direções especiais. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente o cálculo de determinantes e soluções de equações características. Vamos precisar montar a equação característica e resolver para .

Passo 2

Primeiro, montamos a matriz , onde é a matriz identidade:

Passo 3

Agora, calculamos o determinante dessa matriz:

Passo 4

Expandindo os termos:
Então:

Passo 5

Agora, resolvemos a equação característica:
Isso é uma equação quadrática que podemos resolver usando a fórmula de Bhaskara:

Passo 6

Encontramos que é a única raiz da equação característica. Isso significa que o único autovalor de é 2.

Passo 7

Agora, vamos falar sobre a multiplicidade algébrica e multiplicidade geométrica:
  • Multiplicidade Algébrica: é o número de vezes que o autovalor aparece como raiz da equação característica. Aqui, aparece duas vezes, então a multiplicidade algébrica é 2.
  • Multiplicidade Geométrica: é o número de vetores próprios linearmente independentes associados a esse autovalor. Precisamos verificar a matriz :
Resolvendo , vemos que há apenas uma solução não trivial, então a multiplicidade geométrica é 1.

Resposta

Os autovalores são , com multiplicidade algébrica 2 e multiplicidade geométrica 1.

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(a)
Calcule as seguintes integrais impróprias, caso sejam convergentes: