Calcule as seguintes integrais indefinidas:
integral cosh (x)1+senh(x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O exercício pede para calcular a integral indefinida de . Estamos trabalhando com cálculo de integrais, especificamente envolvendo funções hiperbólicas como cosh(x)1 + senh(x) , dx e . Para resolver isso, vamos precisar usar substituição, uma técnica fundamental em integração.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da expressão que podemos substituir para simplificar a integral. Olha só, o numerador é cosh(x) e o denominador é . Sabemos que a derivada de é 1 + senh(x), então isso é um bom sinal para usarmos substituição.

Passo 3

Vamos definir uma nova variável u para simplificar a integral:
Agora, calculamos a derivada de u = 1 + senh(x) em relação a u:
x
Isso significa que:
dudx = cosh(x)

Passo 4

Agora, substituímos u e du na integral original:

Passo 5

A integral de 1u , du é uma das integrais básicas que aprendemos:
integral 1u , du = ln|u| + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 6

Agora, substituímos u de volta para termos de x:

Resposta

A integral indefinida é igual a , onde ln|1 + senh(x)| + C é a constante de integração.

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