Calcule as seguintes integrais indefinidas:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O exercício pede para calcular a integral indefinida de . Estamos trabalhando com cálculo de integrais, especificamente envolvendo funções hiperbólicas como e . Para resolver isso, vamos precisar usar substituição, uma técnica fundamental em integração.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da expressão que podemos substituir para simplificar a integral. Olha só, o numerador é e o denominador é . Sabemos que a derivada de é , então isso é um bom sinal para usarmos substituição.

Passo 3

Vamos definir uma nova variável para simplificar a integral:
Agora, calculamos a derivada de em relação a :
Isso significa que:

Passo 4

Agora, substituímos e na integral original:

Passo 5

A integral de é uma das integrais básicas que aprendemos:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Agora, substituímos de volta para termos de :

Resposta

A integral indefinida é igual a , onde é a constante de integração.

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