Defina ou enuncie os seguintes objetos ou teoremas: Enuncie o teorema de Stokes.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente definir ou enunciar o Teorema de Stokes. Esse teorema faz parte do cálculo vetorial e é super importante para conectar integrais de superfície com integrais de linha. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre integrais de linha, integrais de superfície e campos vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um campo vetorial. É basicamente uma função que atribui um vetor a cada ponto de um espaço. Por exemplo, o vento em diferentes pontos de uma área pode ser representado por um campo vetorial.
Passo 3
Agora, integrais de linha são usadas para calcular, por exemplo, o trabalho realizado por um campo vetorial ao longo de um caminho específico. Já integrais de superfície estendem essa ideia para uma superfície inteira, como calcular o fluxo do vento através de uma área.
Passo 4
O Teorema de Stokes é uma generalização do Teorema Fundamental do Cálculo para campos vetoriais e relaciona a integral de linha de um campo vetorial ao longo da borda de uma superfície com a integral de superfície do rotacional desse campo vetorial sobre a própria superf��cie.
Passo 5
Em termos simples, ele diz que a soma das rotações do campo vetorial em uma superfície é igual à soma do campo vetorial ao longo da borda dessa superfície. Isso conecta o comportamento local do campo (através do rotacional) com o comportamento global (através da integral de linha).
Passo 6
Para formalizar, o Teorema de Stokes é enunciado da seguinte maneira:
Resposta
O Teorema de Stokes afirma que, para um campo vetorial suave
definido em uma variedade orientável
com bordo suave
, temos:
Ou seja, a integral de linha de
ao longo da borda
é igual à integral de superfície do rotacional de
sobre
.
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