Defina ou enuncie os seguintes objetos ou teoremas: Enuncie o teorema de Stokes.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente definir ou enunciar o Teorema de Stokes. Esse teorema faz parte do cálculo vetorial e é super importante para conectar integrais de superfície com integrais de linha. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre integrais de linha, integrais de superfície e campos vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um campo vetorial. É basicamente uma função que atribui um vetor a cada ponto de um espaço. Por exemplo, o vento em diferentes pontos de uma área pode ser representado por um campo vetorial.

Passo 3

Agora, integrais de linha são usadas para calcular, por exemplo, o trabalho realizado por um campo vetorial ao longo de um caminho específico. Já integrais de superfície estendem essa ideia para uma superfície inteira, como calcular o fluxo do vento através de uma área.

Passo 4

O Teorema de Stokes é uma generalização do Teorema Fundamental do Cálculo para campos vetoriais e relaciona a integral de linha de um campo vetorial ao longo da borda de uma superfície com a integral de superfície do rotacional desse campo vetorial sobre a própria superf��cie.

Passo 5

Em termos simples, ele diz que a soma das rotações do campo vetorial em uma superfície é igual à soma do campo vetorial ao longo da borda dessa superfície. Isso conecta o comportamento local do campo (através do rotacional) com o comportamento global (através da integral de linha).

Passo 6

Para formalizar, o Teorema de Stokes é enunciado da seguinte maneira:

Resposta

O Teorema de Stokes afirma que, para um campo vetorial suave definido em uma variedade orientável com bordo suave , temos:
Ou seja, a integral de linha de ao longo da borda é igual à integral de superfície do rotacional de sobre .

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