Calcule as seguintes integrais indefinidas:
integral sec (x) tan (x)raiz1+sec (x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular a integral indefinida de em relação a . Vamos precisar usar substituição para simplificar essa expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para facilitar a integral. Vamos deixar:
u = 1 + sec(x)
Isso significa que:
raiz1 + sec(x) = raizu

Passo 3

Agora, precisamos achar du = ddx(1 + sec(x)) . Diferenciando ambos os lados em relação a du = sec(x) tan(x) , dx :
sec(x) tan(x) , dx = du
Isso nos dá:

Passo 4

Substituindo integral sec(x) tan(x)raiz1 + sec(x) , dx = integral duraizu e na integral original:
A integral agora ficou bem mais simples!

Passo 5

Vamos resolver integral u^-1/2 , du = 2u^1/2 + C . Sabemos que:
integral duraizu = 2raizu + C
Então:

Passo 6

Agora, vamos voltar à variável original substituindo 2raizu + C = 2raiz1 + sec(x) + C :

Resposta

A integral indefinida é:
2raiz1 + sec(x) + C

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