Calcule as seguintes integrais indefinidas:
Passo 1
Vamos resolver a integral indefinida
.
Conteúdo da matéria: Integração de funções trigonométricas, especialmente potências de
e
.
O que vamos precisar: Conhecer as identidades trigonométricas básicas, técnicas de substituição e regras de integração para funções de potências.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a integral para facilitar a aplicação das técnicas de integração. Observe que podemos separar
em
:
Passo 3
Sabemos que a derivada de
é
, ou seja:
Isso sugere que podemos usar substituição. Vamos definir:
Passo 4
Substituindo
e
na integral, temos:
Mas
, então:
Passo 5
Agora, a integral está em termos de
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Voltando para a variável original
, lembramos que
. Então:
Passo 7
Contudo, podemos simplificar ainda mais a expressão. Observe que
pode ser expandida como
, mas já utilizamos essa abordagem. Portanto, nossa solução final é:
Resposta
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Se
, encontre
e
em termos de
.