Calcule as seguintes integrais indefinidas: integral tg^21(x) sec ^4(x) d x

Passo 1

Vamos resolver a integral indefinida .
Conteúdo da matéria: Integração de funções trigonométricas, especialmente potências de e .
O que vamos precisar: Conhecer as identidades trigonométricas básicas, técnicas de substituição e regras de integração para funções de potências.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a integral para facilitar a aplicação das técnicas de integração. Observe que podemos separar integral tan^21(x) sec^4(x) , dx = integral tan^21(x) cdot sec^2(x) cdot sec^2(x) , dx em :

Passo 3

Sabemos que a derivada de ddx[tan(x)] = sec^2(x) é u = tan(x) , ou seja:
du = sec^2(x) , dx
Isso sugere que podemos usar substituição. Vamos definir:

Passo 4

Substituindo integral tan^21(x) cdot sec^2(x) cdot sec^2(x) , dx = integral u^21 cdot sec^2(x) , dx e integral u^21 cdot sec^2(x) , dx = integral u^21 , du na integral, temos:
Mas , então:

Passo 5

Agora, a integral está em termos de integral u^21 , du = u^2222 + C :
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Voltando para a variável original u^2222 + C = tan^22(x)22 + C , lembramos que . Então:

Passo 7

Contudo, podemos simplificar ainda mais a expressão. Observe que pode ser expandida como , mas já utilizamos essa abordagem. Portanto, nossa solução final é:

Resposta

integral tan^21(x) sec^4(x) , dx = tan^22(x)22 + C

Exercícios relacionados

Calcule as seguintes integrais indefinidas: integral x^2(ln x)^2 d x
Calcule as seguintes integrais indefinidas: integral 1x(1+(ln x)^2) d x
Calcule as seguintes integrais indefinidas: integral 1raizx^2+2 x+10 d x
Se x = 3 sec(theta), encontre sen(2 theta) e cos(2 theta) em termos de x.