Calcule as seguintes integrais indefinidas: integral 1raizx^2+2 x+10 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: .
Aqui, estamos lidando com uma integral indefinida que envolve uma função com uma raiz quadrada no denominador. Para resolver isso, vamos precisar de alguns conceitos de álgebra e cálculo, como completar o quadrado e substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o que está dentro da raiz quadrada: .
Para facilitar a integração, completamos o quadrado. Isso significa reescrever a expressão quadrática de uma forma que facilite a aplicação de fórmulas conhecidas.

Passo 3

Completando o quadrado para x^2 + 2x + 10 = (x + 1)^2 + 9 :
Aqui, adicionamos e subtraímos dentro da expressão para formar um quadrado perfeito e ajustamos o número constante para manter a igualdade.

Passo 4

Agora, substituímos a expressão original na integral por essa forma completada:
integral 1raiz(x + 1)^2 + 9 , dx
Isso torna a integral mais amigável para uma substituição posterior.

Passo 5

Vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Seja:
u = x + 1 Rightarrow du = dx
Substituindo integral 1raizu^2 + 9 , du na integral:

Passo 6

Agora, reconhecemos que a integral está na forma padrão:
integral 1raizu^2 + a^2 , du = ln|u + raizu^2 + a^2| + C
onde no nosso caso.

Passo 7

Aplicando a fórmula padrão:
integral 1raizu^2 + 9 , du = ln|u + raizu^2 + 9| + C
Substituímos ln|x + 1 + raiz(x + 1)^2 + 9| + C de volta para :

Resposta

A integral é igual a .

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