Calcule as seguintes integrais indefinidas:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral:
.
Aqui, estamos lidando com uma integral indefinida que envolve uma função com uma raiz quadrada no denominador. Para resolver isso, vamos precisar de alguns conceitos de álgebra e cálculo, como completar o quadrado e substituição.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o que está dentro da raiz quadrada:
.
Para facilitar a integração, completamos o quadrado. Isso significa reescrever a expressão quadrática de uma forma que facilite a aplicação de fórmulas conhecidas.
Passo 3
Completando o quadrado para
:
Aqui, adicionamos e subtraímos
dentro da expressão para formar um quadrado perfeito
e ajustamos o número constante para manter a igualdade.
Passo 4
Agora, substituímos a expressão original na integral por essa forma completada:
Isso torna a integral mais amigável para uma substituição posterior.
Passo 5
Vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Seja:
Substituindo
na integral:
Passo 6
Agora, reconhecemos que a integral está na forma padrão:
onde
no nosso caso.
Passo 7
Aplicando a fórmula padrão:
Substituímos
de volta para
:
Resposta
A integral é igual a
.
Exercícios relacionados
Calcule as seguintes integrais indefinidas:
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Se
, encontre
e
em termos de
.
Escreva a decomposição em frações parciais da função racional própria
Observação: Não é necessário encontrar as constantes.