Calcule as seguintes integrais indefinidas:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral indefinida de
. Isso está relacionado ao cálculo de integrais usando técnicas de cálculo, especificamente a integração por partes. Vamos precisar escolher partes da função para aplicar essa técnica e resolver a integral passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da fórmula da integração por partes:
Aqui, precisamos escolher quais partes da nossa função serão
e
. Geralmente, escolhemos
como a parte que simplifica quando derivada e
como a parte que é fácil de integrar.
No nosso caso, vamos escolher:
Passo 3
Agora, vamos derivar
para encontrar
e integrar
para encontrar
:
Passo 4
Aplicando a fórmula da integração por partes:
Substituindo
,
e
:
Simplificando a integral restante:
Passo 5
Agora, precisamos resolver a integral
usando novamente a integração por partes. Novamente, escolhemos:
Derivando e integrando:
Passo 6
Aplicando a fórmula novamente:
Substituindo:
Simplificando:
Integrando
:
Passo 7
Voltando à expressão anterior:
Distribuindo o
:
Resposta
A integral indefinida é:
onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
Calcule as seguintes integrais indefinidas:
A aceleração de uma partícula que se move ao longo de uma reta é dada por
Se
e
, encontre a função posição da partícula.
Calcule as seguintes integrais indefinidas:
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