Calcule as seguintes integrais indefinidas:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A questão pede para calcular a integral indefinida de
. Aqui estamos lidando com frações racionais, e para resolver isso, vamos usar a técnica de frações parciais. Isso significa que vamos decompor a fração em partes mais simples que são mais fáceis de integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos expressar a fração
como uma soma de frações mais simples. Assumimos que ela pode ser escrita da seguinte forma:
Aqui, A, B e C são constantes que precisamos encontrar.
Passo 3
Multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum
para eliminar os denominadores:
Agora, vamos expandir e simplificar a expressão do lado direito.
Passo 4
Expandindo cada termo:
Portanto, a equação fica:
Passo 5
Agora, vamos combinar os termos semelhantes:
Isso nos dá um sistema de equações para encontrar A, B e C comparando os coeficientes dos termos de mesmo grau:
- Coeficiente de
: - Coeficiente de
: - Termo constante:
Passo 6
Vamos resolver esse sistema de equações. Podemos usar substituição ou eliminação. Vamos resolver passo a passo:
Da primeira equação:
Substituímos
nas outras equações:
Segunda equação:
Terceira equação:
Passo 7
Agora temos:
-
(Equação 2) -
(Equação 3)
Somando as duas equações para eliminar
:
Agora, substituímos
de volta na Equação 2:
E então, substituímos
e
na expressão para
:
Passo 8
Agora que temos os valores de
,
e
, podemos reescrever a fração original:
Simplificando:
Passo 9
Agora, podemos integrar cada termo separadamente:
Integrando:
Onde
é a constante de integração.
Resposta
A integral indefinida é:
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Calcule as seguintes integrais indefinidas:
Escreva a decomposição em frações parciais da função racional própria
Observação: Não é necessário encontrar as constantes.