Calcule as seguintes integrais indefinidas:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A questão pede para calcular a integral indefinida de . Aqui estamos lidando com frações racionais, e para resolver isso, vamos usar a técnica de frações parciais. Isso significa que vamos decompor a fração em partes mais simples que são mais fáceis de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos expressar a fração como uma soma de frações mais simples. Assumimos que ela pode ser escrita da seguinte forma:
Aqui, A, B e C são constantes que precisamos encontrar.

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum para eliminar os denominadores:
Agora, vamos expandir e simplificar a expressão do lado direito.

Passo 4

Expandindo cada termo:
Portanto, a equação fica:

Passo 5

Agora, vamos combinar os termos semelhantes:
Isso nos dá um sistema de equações para encontrar A, B e C comparando os coeficientes dos termos de mesmo grau:
  1. Coeficiente de :
  2. Coeficiente de :
  3. Termo constante:

Passo 6

Vamos resolver esse sistema de equações. Podemos usar substituição ou eliminação. Vamos resolver passo a passo:
Da primeira equação:
Substituímos nas outras equações:
Segunda equação:
çã
Terceira equação:
çã

Passo 7

Agora temos:
  1. (Equação 2)
  2. (Equação 3)
Somando as duas equações para eliminar :
Agora, substituímos de volta na Equação 2:
E então, substituímos e na expressão para :

Passo 8

Agora que temos os valores de , e , podemos reescrever a fração original:
Simplificando:

Passo 9

Agora, podemos integrar cada termo separadamente:
Integrando:
Onde é a constante de integração.

Resposta

A integral indefinida é:

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Calcule as seguintes integrais indefinidas:
Escreva a decomposição em frações parciais da função racional própria
Observação: Não é necessário encontrar as constantes.