Escreva a decomposição em frações parciais da função racional própria
(2x + 7) / ((x + 1)(x - 2)^(3)(x^2 + 2x + 2)(x^2 + 4)^(2))
Observação: Não é necessário encontrar as constantes.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa fazer a decomposição em frações parciais da função racional própria dada, que é:
(2x + 7) / ((x + 1)(x - 2)^(3)(x^2 + 2x + 2)(x^2 + 4)^(2))
Isso envolve entender de onde vêm as frações parciais, principalmente olhando para os fatores do denominador. Vamos usar o conteúdo de frações parciais, que ajuda a quebrar funções complicadas em partes mais simples que são mais fáceis de trabalhar.

Passo 2

Primeiro, observamos que o denominador está totalmente fatorado em termos lineares e quadráticos. A decomposição em frações parciais depende desses fatores. Para cada fator linear e quadrático, e levando em conta as potências, vamos escrever termos separados.

Passo 3

Vamos começar com os fatores lineares. Temos e . Para , que é um fator linear simples, colocamos uma única fração:
Para , que é um fator linear elevado à terceira potência, precisamos de três frações:

Passo 4

Agora, vamos tratar dos fatores quadráticos. Temos e . Para cada fator quadrático que não está elevado a uma potência, colocamos uma fração com o numerador de primeiro grau:
E para , que é um fator quadrático elevado à segunda potência, precisamos de duas frações:

Passo 5

Juntando tudo, a decomposição completa fica assim:

Resposta

A decomposição em frações parciais da função dada é:

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