Calcule as seguintes integrais indefinidas:
Passo 1
Vamos resolver a integral indefinida
. Esse tipo de integral faz parte do estudo de funções trigonométricas e suas potências. Para resolver, vamos usar a técnica de substituição, que nos ajuda a simplificar a expressão e encontrar a integral de forma mais fácil.
Passo 2
Primeiro, como a potência de seno é ímpar (15 é ímpar), podemos separar um fator de
para facilitar a substituição. Vamos reescrever a integral assim:
Passo 3
Agora, vamos expressar
de uma forma que possamos relacionar com
. Sabemos que
. Então:
Passo 4
Substituindo de volta na integral, temos:
Agora, fazemos a substituição
. Então, a derivada de
em relação a
é
, ou seja,
.
Passo 5
Substituindo na integral, ficamos com:
Passo 6
Agora, temos uma integral em termos de
que pode ser resolvida expandindo
ou integrando diretamente. Para simplificar, vamos expandir a expressão:
Portanto, multiplicando por
:
Passo 7
Agora, integramos termo a termo:
Passo 8
Finalmente, substituímos
de volta na expressão:
Resposta
A integral indefinida é:
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Escreva a decomposição em frações parciais da função racional própria
Observação: Não é necessário encontrar as constantes.
Se
, encontre
e
em termos de
.
Calcule as seguintes integrais indefinidas: