Calcule as seguintes integrais indefinidas:

Passo 1

Vamos resolver a integral indefinida . Esse tipo de integral faz parte do estudo de funções trigonométricas e suas potências. Para resolver, vamos usar a técnica de substituição, que nos ajuda a simplificar a expressão e encontrar a integral de forma mais fácil.

Passo 2

Primeiro, como a potência de seno é ímpar (15 é ímpar), podemos separar um fator de para facilitar a substituição. Vamos reescrever a integral assim:

Passo 3

Agora, vamos expressar de uma forma que possamos relacionar com . Sabemos que . Então:

Passo 4

Substituindo de volta na integral, temos:
Agora, fazemos a substituição . Então, a derivada de em relação a é , ou seja, .

Passo 5

Substituindo na integral, ficamos com:

Passo 6

Agora, temos uma integral em termos de que pode ser resolvida expandindo ou integrando diretamente. Para simplificar, vamos expandir a expressão:
Portanto, multiplicando por :

Passo 7

Agora, integramos termo a termo:

Passo 8

Finalmente, substituímos de volta na expressão:

Resposta

A integral indefinida é:

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Calcule as seguintes integrais indefinidas: