Calcule as seguintes integrais indefinidas usando as técnicas de integração: integral x+3x(x-1) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral indefinida . Esse tipo de problema está relacionado ao cálculo de integrais de funções racionais, ou seja, frações envolvendo polinômios. Para resolver, vamos usar a técnica de frações parciais, que nos ajuda a decompor a expressão numa soma de frações mais simples.

Passo 2

Primeiro, a gente precisa decompor x+3x(x-1) = Ax + Bx-1 em frações parciais. Isso significa que vamos escrever a fração original como a soma de duas frações com denominadores mais simples:
Aqui, e são constantes que a gente precisa encontrar.

Passo 3

Para encontrar os valores de x + 3 = A(x - 1) + Bx e 0 + 3 = A(0 - 1) + B(0) Rightarrow 3 = -A Rightarrow A = -3 , vamos multiplicar ambos os lados da equação pelo denominador comum 1 + 3 = A(1 - 1) + B(1) Rightarrow 4 = B Rightarrow B = 4 :
Agora, vamos escolher valores de que simplificam a resolução. Primeiro, vamos deixar :
Em seguida, vamos deixar :

Passo 4

Agora que encontramos os valores de x+3x(x-1) = -3x + 4x-1 e ( e ), podemos escrever a fração inicial de volta:

Passo 5

Vamos integrar cada termo separadamente. A integral de integral -3x , dx + integral 4x-1 , dx = -3ln|x| + 4ln|x - 1| + C é e a integral de é . Aplicando isso:

Resposta

-3,ln|x| + 4,ln|x - 1| + C

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