Calcule as seguintes integrais:
a) I=integral-2^4(t^3+4)[de
b) I=integral-3^4 t^2[de
Resp. a) 52; b)6.25

Passo 1

Beleza, vamos resolver duas integrais que envolvem a função delta de Dirac, um conceito da análise de sinais e distribuição. A matemática que vamos precisar inclui propriedades da função delta, especificamente como ela “pega” valores específicos dentro de uma integral. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos olhar a parte a) da questão:
I = integral-2^4 (t^3 + 4) [de
Aqui, temos uma combinação da função delta e uma versão deslocada . A função delta tem a propriedade de “capturar” o valor da função multiplicada por ela no ponto onde ela está concentrada.

Passo 3

Vamos lembrar da propriedade fundamental da função delta:
integrala^b f(t) deá
Isso significa que, dentro de uma integral, a função delta retira o valor de exatamente em , desde que esteja dentro dos limites de integração.

Passo 4

Aplicando essa propriedade na parte a), vamos dividir a integral em duas partes:
I = integral-2^4 (t^3 + 4) de
Agora, vamos avaliar cada integral separadamente.

Passo 5

Para a primeira integral:
integral-2^4 (t^3 + 4) de
Porque a delta está em , que está dentro dos limites de -2 a 4, então pegamos o valor da função em 0.

Passo 6

Para a segunda integral:
4 integral-2^4 (t^3 + 4) de
A delta está em , também dentro dos limites, então pegamos o valor da função em 2 e multiplicamos por 4.

Passo 7

Somando as duas partes:
I = 4 + 48 = 52
Portanto, a resposta da parte a) é 52.

Passo 8

Agora, vamos para a parte b) da questão:
I = integral-3^4 t^2 [de
Aqui, temos três funções delta: , e . Vamos analisar cada uma.

Passo 9

Aplicando a propriedade da função delta, dividimos a integral:
I = integral-3^4 t^2 de
Agora, vamos avaliar cada integral.

Passo 10

Primeira integral:
integral-3^4 t^2 de
A delta está em , que está dentro dos limites. O valor da função em 0 é 0.

Passo 11

Segunda integral:
integral-3^4 t^2 de
Aqui, a delta está em , que também está dentro dos limites. Pegamos o valor da função em .

Passo 12

Terceira integral:
integral-3^4 t^2 de
A delta está em , mas 5 está fora dos limites de -3 a 4, então essa integral é 0.

Passo 13

Somando as três partes:
I = 0 + 6.25 + 0 = 6.25
Portanto, a resposta da parte b) é 6.25.

Resposta

a) 52; b) 6.25

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