Calcule as seguintes integrais:
a)
b)
Resp. a) 52; b)6.25

Passo 1

Beleza, vamos resolver duas integrais que envolvem a função delta de Dirac, um conceito da análise de sinais e distribuição. A matemática que vamos precisar inclui propriedades da função delta, especificamente como ela “pega” valores específicos dentro de uma integral. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos olhar a parte a) da questão:
Aqui, temos uma combinação da função delta e uma versão deslocada . A função delta tem a propriedade de “capturar” o valor da função multiplicada por ela no ponto onde ela está concentrada.

Passo 3

Vamos lembrar da propriedade fundamental da função delta:
á
Isso significa que, dentro de uma integral, a função delta retira o valor de exatamente em , desde que esteja dentro dos limites de integração.

Passo 4

Aplicando essa propriedade na parte a), vamos dividir a integral em duas partes:
Agora, vamos avaliar cada integral separadamente.

Passo 5

Para a primeira integral:
Porque a delta está em , que está dentro dos limites de -2 a 4, então pegamos o valor da função em 0.

Passo 6

Para a segunda integral:
A delta está em , também dentro dos limites, então pegamos o valor da função em 2 e multiplicamos por 4.

Passo 7

Somando as duas partes:
Portanto, a resposta da parte a) é 52.

Passo 8

Agora, vamos para a parte b) da questão:
Aqui, temos três funções delta: , e . Vamos analisar cada uma.

Passo 9

Aplicando a propriedade da função delta, dividimos a integral:
Agora, vamos avaliar cada integral.

Passo 10

Primeira integral:
A delta está em , que está dentro dos limites. O valor da função em 0 é 0.

Passo 11

Segunda integral:
Aqui, a delta está em , que também está dentro dos limites. Pegamos o valor da função em .

Passo 12

Terceira integral:
A delta está em , mas 5 está fora dos limites de -3 a 4, então essa integral é 0.

Passo 13

Somando as três partes:
Portanto, a resposta da parte b) é 6.25.

Resposta

a) 52; b) 6.25

Exercícios relacionados

(6,0 pontos) Para o circuito dado, , calcule:
a) A corrente no resistor de ;
( 4,0 pontos) Para o circuito dado, calcule:
a) As potências ativa (se existir), reativa (se existir) e aparente, em cada componente;
Esboce a forma de onda representada por
Desenhe os gráficos e calcule as derivadas das seguintes funções
a)
b)
Resp. a) b)