Desenhe os gráficos e calcule as derivadas das seguintes funções
a) x(t)=u(t-1) u(t+1)
b) y(t)=sin (4 t) u(t-3)
Resp. a) x^prime(t)=de b) y^prime(t)=4 cos (4 t) u(t-3)- 0.5368(t-3)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos duas funções que envolvem a função degrau unitário, , e queremos desenhar seus gráficos e calcular suas derivadas. Para isso, vamos precisar entender o que é a função degrau, como ela se comporta, e como calcular derivadas de funções que a envolvem. Vamos resolver cada parte passo a passo!

Passo 2

Vamos começar com a parte a): u(t) = 0 & se t < 0 1 & se t >= 0 .
Primeiro, vamos entender o que é a função degrau . A função degrau unitário é definida como:
A função basicamente desloca o degrau para a direita em unidades no tempo.

Passo 3

Agora, vamos analisar x(t) = u(t-1) cdot u(t+1) = 0 & se t < 1 1 & se t >= 1 .
  • é 0 quando e 1 quando .
  • é 1 para todo (pois ).
Então, o produto das duas funções será:
Isso porque, para , , e para , ambos os degraus são 1.

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada de x'(t) = ddt [u(t-1) cdot u(t+1)] , denotada por x'(t) = de.
A derivada da função degrau é a função delta de Dirac, , que representa um impulso no ponto .
Então, temos:
Como é constante para e , a única mudança ocorre em . Portanto:

Passo 5

Vamos agora para a parte b): .
Aqui, temos a função seno multiplicada por um degrau unitário deslocado. Isso significa que a função seno só “liga” em .

Passo 6

Primeiro, vamos desenhar o gráfico de :
  • Para , , então .
  • Para , , então .
Então, o gráfico de será zero até e, a partir daí, seguirá a forma da função seno com frequência .

Passo 7

Agora, vamos calcular a derivada ddt[f(t) cdot g(t)] = f'(t) cdot g(t) + f(t) cdot g'(t) .
Usaremos a regra do produto para derivadas, que diz:
f'(t) = 4 cos(4t)
Aqui, g'(t) = de e y'(t) = 4 cos(4t) cdot u(t-3) + sin(4t) cdot de.
Calculando as derivadas individuais:
y'(t) = 4 cos(4t) cdot u(t-3)
Aplicando a regra do produto:
A segunda parte pode ser interpretada como zero, já que o valor da função seno em é finito e multiplicado por um impulso infinitesimal. Portanto, simplificamos para:

Resposta

a)
b)

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