Desenhe os gráficos e calcule as derivadas das seguintes funções
a)
b)
Resp. a)
b)
a)
b)
Resp. a)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos duas funções que envolvem a função degrau unitário,
, e queremos desenhar seus gráficos e calcular suas derivadas. Para isso, vamos precisar entender o que é a função degrau, como ela se comporta, e como calcular derivadas de funções que a envolvem. Vamos resolver cada parte passo a passo!
Passo 2
Vamos começar com a parte a):
.
Primeiro, vamos entender o que é a função degrau
. A função degrau unitário é definida como:
A função
basicamente desloca o degrau para a direita em
unidades no tempo.
Passo 3
Agora, vamos analisar
.
-
é 0 quando e 1 quando . -
é 1 para todo (pois ).
Então, o produto das duas funções será:
Isso porque, para
,
, e para
, ambos os degraus são 1.
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada de
, denotada por
.
A derivada da função degrau
é a função delta de Dirac,
, que representa um impulso no ponto
.
Então, temos:
Como
é constante para
e
, a única mudança ocorre em
. Portanto:
Passo 5
Vamos agora para a parte b):
.
Aqui, temos a função seno multiplicada por um degrau unitário deslocado. Isso significa que a função seno só “liga” em
.
Passo 6
Primeiro, vamos desenhar o gráfico de
:
- Para
, , então . - Para
, , então .
Então, o gráfico de
será zero até
e, a partir daí, seguirá a forma da função seno com frequência
.
Passo 7
Agora, vamos calcular a derivada
.
Usaremos a regra do produto para derivadas, que diz:
Aqui,
e
.
Calculando as derivadas individuais:
Aplicando a regra do produto:
A segunda parte
pode ser interpretada como zero, já que o valor da função seno em
é finito e multiplicado por um impulso infinitesimal. Portanto, simplificamos para:
Resposta
a)
b)
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a)
b)
Resp. a) 52; b)6.25
a)
b)
Resp. a) 52; b)6.25
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