Calcule as seguintes integrais integral sen^10(x) cos ^3(x) d x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente com funções trigonométricas elevadas a potências. Para resolver isso, vamos precisar usar uma técnica de substituição que simplifica a expressão para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos observar que temos potências ímpares tanto de seno quanto de cosseno. Uma boa estratégia nesse caso é separar uma das funções com potência ímpar para usar na substituição. Vou escolher separar um integral sin^10(x) cos^3(x) , dx = integral sin^10(x) cos^2(x) cdot cos(x) , dx , já que o cosseno está elevado a uma potência ímpar.
Então, reescrevemos a integral assim:

Passo 3

Agora, vamos usar a identidade trigonométrica integral sin^10(x) (1 - sin^2(x)) cos(x) , dx para substituir na integral:

Passo 4

A próxima etapa é fazer a substituição. Vamos definir:
u = sin(x)
Então, a derivada de du = cos(x) , dx em relação a é:

Passo 5

Substituindo integral u^10 (1 - u^2) , du e na integral, temos:
Agora, a integral está em termos de , o que é mais fácil de resolver.

Passo 6

Vamos expandir a expressão dentro da integral:
integral (u^10 - u^12) , du
Agora, podemos integrar termo a termo.

Passo 7

Integrando cada termo separadamente:
integral u^10 , du = u^1111
integral u^12 , du = u^1313
Então, a integral fica:
u^1111 - u^1313 + C
onde é a constante de integração.

Passo 8

Agora, voltamos à variável original substituindo sin^11(x)11 - sin^13(x)13 + C :

Resposta

A integral sin^11(x)11 - sin^13(x)13 + C é igual a:

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