Calcule as seguintes integrais
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Aqui estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente com funções trigonométricas elevadas a potências. Para resolver isso, vamos precisar usar uma técnica de substituição que simplifica a expressão para facilitar a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos observar que temos potências ímpares tanto de seno quanto de cosseno. Uma boa estratégia nesse caso é separar uma das funções com potência ímpar para usar na substituição. Vou escolher separar um
, já que o cosseno está elevado a uma potência ímpar.
Então, reescrevemos a integral assim:
Passo 3
Agora, vamos usar a identidade trigonométrica
para substituir
na integral:
Passo 4
A próxima etapa é fazer a substituição. Vamos definir:
Então, a derivada de
em relação a
é:
Passo 5
Substituindo
e
na integral, temos:
Agora, a integral está em termos de
, o que é mais fácil de resolver.
Passo 6
Vamos expandir a expressão dentro da integral:
Agora, podemos integrar termo a termo.
Passo 7
Integrando cada termo separadamente:
Então, a integral fica:
onde
é a constante de integração.
Passo 8
Agora, voltamos à variável original substituindo
:
Resposta
A integral
é igual a: