Sea f(x, y) = (x^2 / (e^(x^2 + y^2) - 1) se (x, y) ≠ (0, 0); 0 se (x, y) = (0, 0)). Calcular fx(0,0) y f_y(0,0)

Passo 1

Vamos lá! A questão nos apresenta uma função de duas variáveis definida da seguinte forma:
Nos pedem para calcular as derivadas parciais e . Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo de derivadas parciais de funções de várias variáveis, especificamente a definição de derivada parcial através de limites.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a derivada parcial de uma função em relação a no ponto . A definição de é o limite:
Assim, precisamos calcular para e .

Passo 3

Vamos calcular :
E sabemos que pela definição da função.

Passo 4

Substituindo na definição de :

Passo 5

Agora, analisamos o limite . Para resolver esse limite, podemos usar a expansão em série de Taylor de em torno de :
Subtraindo 1:

Passo 6

Portanto, o denominador pode ser aproximado por quando é muito pequeno. Assim, temos:
No entanto, isso sugere que o limite tende a infinito, o que não faz sentido no contexto das derivadas parciais. Parece que houve um erro na aproximação. Vamos refazer a análise.

Passo 7

Vamos reformular o limite:
Usando a expansão de Taylor novamente:
Então:
À medida que , os termos de maior potência de no denominador desaparecem, restando:
O que indica que o limite tende a infinito.

Passo 8

Isso implica que não existe, pois o limite não é finito. No entanto, vamos verificar se essa função é diferenciável no ponto , o que nos ajudaria a concluir as derivadas parciais.

Passo 9

Para verificar a diferenciabilidade, precisamos que os limites das derivadas parciais existam e sejam contínuos no ponto considerado. Como encontramos que tende a infinito, concluímos que a função não é diferenciável em , e as derivadas parciais não estão bem definidas nesse ponto.

Resposta

As derivadas parciais e não existem, pois os limites associados não são finitos.

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