Sea
. Calcular
y
Passo 1
Vamos lá! A questão nos apresenta uma função de duas variáveis
definida da seguinte forma:
Nos pedem para calcular as derivadas parciais
e
. Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo de derivadas parciais de funções de várias variáveis, especificamente a definição de derivada parcial através de limites.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular a derivada parcial de uma função em relação a
no ponto
. A definição de
é o limite:
Assim, precisamos calcular
para
e
.
Passo 3
Vamos calcular
:
E sabemos que
pela definição da função.
Passo 4
Substituindo na definição de
:
Passo 5
Agora, analisamos o limite
. Para resolver esse limite, podemos usar a expansão em série de Taylor de
em torno de
:
Subtraindo 1:
Passo 6
Portanto, o denominador
pode ser aproximado por
quando
é muito pequeno. Assim, temos:
No entanto, isso sugere que o limite tende a infinito, o que não faz sentido no contexto das derivadas parciais. Parece que houve um erro na aproximação. Vamos refazer a análise.
Passo 7
Vamos reformular o limite:
Usando a expansão de Taylor novamente:
Então:
À medida que
, os termos de maior potência de
no denominador desaparecem, restando:
O que indica que o limite tende a infinito.
Passo 8
Isso implica que
não existe, pois o limite não é finito. No entanto, vamos verificar se essa função é diferenciável no ponto
, o que nos ajudaria a concluir as derivadas parciais.
Passo 9
Para verificar a diferenciabilidade, precisamos que os limites das derivadas parciais existam e sejam contínuos no ponto considerado. Como encontramos que
tende a infinito, concluímos que a função não é diferenciável em
, e as derivadas parciais não estão bem definidas nesse ponto.
Resposta
As derivadas parciais
e
não existem, pois os limites associados não são finitos.